Schnittgerade 4dim. obwohl Raum nur 3 Dim?

Question

Aufgabe:

Beschreiben Sie die Schnittgerade in Punkt-Richtungs Form. (Stellen Sie für die Ortsvektoren der Punkte auf jeder Ebene eine Gleichung auf und lösen Sie das Gleichungssystem mit Hilfe des Gauss-Jordan Algorithmus.)

Problem/Ansatz:

Ich habe beide Ebenen Gleichgesetzt, ein LGS aufgestellt und dieses auch gelöst. Am Ende (Siege Bild) bekomme ich bei der Schnittgeraden für den Richtungsvektor aber einen 4 Dim. Vektor raus. Warum ist das so?wo liegt mein Fehler?

[Edit: den GJ Algorithmus hab Ich schon online überprüft, der Output stimmt]

Ergänzung warum ich -1 Für X4 gewählt habe:

n=Anzahl unbekannter = 4

K= Spalte die kein Pivotelement hat = 4

L= iteration Von 1 bis n

J= Menge mit Indizes aller Spalten die Pivotelemente enthalten, in unserem Fall (1,2,3)

Formel um den Richtungsvektor aufzustellen war (laut Skript)

Wenn l in J Enthalten, mach als Wert Zeile I, Spalte K

wenn L=n dann -1 als Wert

und das für X_L^K von X₁⁴ bis X₄⁴

^{Bsp: L=1 K=4 nimm Wert aus Zeile 1, Spalte 4.}

Answer 1

Hallo,

Dein 'Lösungsalgorithmus' ist falsch.

Vorher hast Du richtig dieses LGS reduziert$$\begin{pmatrix}1& 0& 0& -1\\ 0& 1& 0& -0,5\\ 0& 0& 1& -1\end{pmatrix}\vec{\lambda} = \begin{pmatrix}-2\\ -1\\ -4\end{pmatrix}$$Da es unterbestimmt ist, kannst Du eine Lösung frei wählen. Hier bietet sich die vierte Unbekannte \(\mu_1 = t\) an. Dann erhält man$$\begin{pmatrix}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\lambda_{2}\\ \mu_{2}\\ \lambda_{1}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1\\ -0,5\\ -1\end{pmatrix} t = \begin{pmatrix}-2\\ -1\\ -4\end{pmatrix} \\ \implies \begin{pmatrix}\lambda_{2}\\ \mu_{2}\\ \lambda_{1}\end{pmatrix}  = \begin{pmatrix}-2\\ -1\\ -4\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-1\\ -0,5\\ -1\end{pmatrix} t \\ \implies \lambda_1 = -4 +t$$Einsetzen in eine der Ebenen (z.B. in \(E_1\)) liefert die Gleichung der Geraden \(g\)$$\begin{aligned}g: \quad \vec{x} &= \begin{pmatrix}1\\ 2\\ 3\end{pmatrix} + (-4+t)\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 2\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}2\\ 1\\ 1\end{pmatrix} \\ &=\begin{pmatrix}-3\\ -2\\ -5\end{pmatrix}+ t\begin{pmatrix}3\\ 2\\ 3\end{pmatrix}\end{aligned}$$

Das ganze in Geoknecht3D. Die Lösung sieht sinnvoll aus ;-)

(klick auf das Bild!)

Gruß Werner

Comments

Wow, vielen Dank dir!!! Ich sitze hier schon ewig rum und mir ist einfach nicht in den Sinn gekommen das so anzugehen

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Ich habe noch ein Goeoknecht3D-Script angehängt (s.o.). Damit kann man die Lösung prima überprüfen.