1/(sin+cos) umwandeln

Question

Ich stehe vor folgendem Problem:

=f(x)

In dieser Funktion soll √(3) cos (Θ) + 3 sin (Θ)+ zu Rsin (Θ+α) umgewandelt werden.

Außerdem soll das Minimum der Funktion und der kleinste positive Wert benannt werden.

Da habe ich keinen "blassen" Schimmer , wie ich vorgehen soll.

Warum stelle ich dann die Frage? Meine Nichte ist in der 11. Klasse und soll die Aufgabe lösen. Ich will ihr dabei helfen, brauche aber selbst Hilfe. Der Bruch ist etwas groß geraten.

Bitte um Lösungsvorschläge.

Answer 1

Hallo,

das Additionstheorem ist Dir doch bekannt: $$\sin(a+b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$$D.h. man kann schreiben:$$\begin{aligned} \sqrt{3}\cos\left(2x\right) + 3\sin\left(2x\right) &= R\left(\sin(a)\cos(2x) + \cos(a)\sin(2x)\right) \\ \implies \sqrt{3} &= R\sin(a) \\ 3 &= R\cos(a) \\ \implies \tan(a)= \frac{R\sin(a)}{R\cos(a)}&= \frac{\sqrt{3}}{3} \implies a = \frac{\pi}{6}\\ \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{1}{2}\\ \implies R &= 2\sqrt{3} \end{aligned}$$und damit ist$$\frac{1}{\sqrt{3}\cos\left(2x\right) + 3\sin\left(2x\right) + 6} = \frac{1}{2\sqrt{3}\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+6}$$Gruß Werner

Comments

Die Minima liegen bei $x_1=\pi/6 +k\pi$ und die Maxima bei $x_2=3\pi/3+k\pi$, aber das schaffst Du alleine - oder?

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Super und vielen Dank für deine schnelle Antwort.

Hilf mir doch noch mal bei den Minima und maxima.

DANKE!

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Hilf mir doch noch mal bei den Minima und maxima.

... sollte für den Nachhilfelehrer der 11.Klasse eigentlich kein Problem sein. Einfach Kettenregel anwenden:$$f(x) = \frac{1}{g(x)} = \left(g(x)\right)^{-1} \\ f'(x) = (-1) \cdot \left(g(x)\right)^{-2} \cdot g'(x)$$Also übersetzt auf die konkrete Funktion:$$f'(x)= -\frac{2\sqrt{3}\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) \cdot 2}{\left(2\sqrt{3}\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+6\right)^2}$$Auf weitere Vereinfachung verzichte ich. Der Ausdruck wird $=0$, wenn das Argument des Cosinus den Wert $\pi/2+k\pi$ annimmt$$\begin{aligned}\implies 2x + \frac{\pi}{6} &= \frac{\pi}{2} + k\pi&&|\, - \frac{\pi}{6}\\ 2x &= \frac{\pi}{3} + k\pi &&|\, \div 2\\ x &= \frac{\pi}{6} +k \frac{\pi}{2} &&\quad k \in \mathbb{Z}\end{aligned}$$Man könnte jetzt die zweite Ableitung bilden, um zu bestimmen, was Minima und was Maxima sind. Man kann es aber auch lassen, da die Funktion die Periode $\pi$ haben muss und pro Periode nur ein Minimum und ein Maximum annehmen kann. D.h. Einsetzen reicht auch!

Der Ausdruck $$\sin\left(\frac{\pi}{3} + k\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\quad k \in \mathbb{Z}$$wird bei jedem geraden $k$ zu $1$ und bei jedem ungerden zu $-1$. Da der Ausdruck im Nenner in einer Summe steht, liegt bei jedem ungeraden $k$ ein Maximum vor. Bem.: der Nenner wird nie negativ.

(siehe auch den Graphen in meinem vorherigen Kommentar)