Zeigen: Norm induziert Metrik.

Question

Aufgabe:

Hallo

wie kann man Rückrichtung ( <= ) folgender Aussage beweisen?

Wir wissen, dass jede Norm eine Metrik induziert, aber die Umkehrung stimmt nicht immer. Zeigen Sie, dass eine Metrik d auf Rⁿ genau dann durch eine Norm || . || induziert ist, wenn d die folgenden Bedingungen erfüllt:

Translationsinvarianz : Für alle x,y,z e Rⁿ gilt d(x + z, y + z) = d(x,y)

Homogenität              : Für alle a e R und x,y,z e Rⁿ gilt d(ax,ay) = |a| d(x,y)

Problem/Ansatz:

für => ( Siehe Bild )

Wie geht die Rückrichtung? bzw der 1. Schritt

Text erkannt:

2
$\text { 1) } \begin{aligned} & d(\vec{x}+\vec{z}, \vec{y}+\vec{z})=\|(\vec{x}+\vec{z})-(\vec{y}+\vec{z})\| \\ = & \|(\vec{x}+(\vec{z}-\vec{z})-\vec{y})\|=\|\vec{x}-\vec{y}\|=d(\vec{x}, \vec{y}) \end{aligned}$
$\Rightarrow$ Tranlationsmarianz
2)
$\text { 2) } \begin{aligned} & d(q \vec{x}, q \vec{y})=\|q \vec{x}-q \vec{y}\|=\|q(\vec{x}-\vec{y})\| \\ = & |q| \cdot|\vec{x}-\vec{y}|=q d(\vec{x}, \vec{y}) \end{aligned}$
$\Rightarrow$ Homogenital

?

LG

Answer 1

Definiere $\|x\|:=d(x,0)$. Ob das eine Norm ist?

Gilt dann $d(x,y)=\|x-y\|$ ?

Comments

So in etwa: (?)

Text erkannt:

Aufgabe 2
"<=" : Nun muss also auch $d(x, 0)$ eine Norm sein und zwar:
$\|x\|:=d(x, 0)$
1. $\|x\|=0 \Rightarrow x=0$
2. $\|\alpha x\|=|\alpha| \cdot\|x\|$
$3 .\|x+y\| \leqslant\|x\|+\|y\|$
2u: 1.
$d(x, 0)=d(0,0)=\|0-0\|=\|0\|=0$
$\underline{2 w Q:}$
$\begin{aligned} \|\alpha x\| & =|\alpha|\|x\|=d(q x, 0)=\|q x-\alpha \cdot o\| \\ & =|\alpha\|\| x-\partial\|=|\alpha|\| x \| \end{aligned}$
년:
$\|x+y\|=d(x+y, 0)=\|x+y\| \leq d(x, 0)+d(y, 0)-\|x\|+\|y\|$
Für $\mathrm{y}=\mathbf{0}$ müsste daher Gleichheit gelten, also folgt nun wieder:
$\|x+0\|=\|x\|=d(x+0,0)=d(x, 0)=\|x+0\|=d(x, 0)+\underbrace{d(y, 0)}_{0}=\|x\|$

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Deinen "Beweis" für die Dreiecksungleichung habe ich nicht

nachvollziehen können. Wo und wie benutzt du denn

die Dreiecksungleichung von d ?

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Bei 2. verwendest du doch im ersten und vierten Schritt bereits, dass $||\cdot||$ eine Norm ist.

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Alles klar, verstehe

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Was hältst du von folgender Anwendung der Dreiecksungleichung

für d?

$d(x+y,0)\leq d(x+y,y)+d(y,0)$ ?

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ja kann ich nachvollziehen...Wie soll man jetzt den Term umformen??

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$d(x+y,y)=d(x+y-y,y-y)=d(x,0)=\|x\|$; denn

$d$ ist translationsinvariant.

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glaube langsam zu verstehen.Danke

Eine Frage, also reicht es zu zeigen, dass mit d(x,0) = ||x|| auch d(x,y) = || x - y || gilt?

Oder muss man allgemein beweisen, dass d eine Norm ist?

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Das verstehe ich nicht. Wenn wir gezeigt haben,

dass $x\mapsto d(x,0)$ eine Norm ist, müssen wir nur noch

zeigen, dass $d$ von dieser Norm induziert wird,

dass also mit $\|x\|=d(x,0)$ gilt $d(x,y)=\|x-y\|$

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Also noch mal ganz deutlich. Wir müssen

zwei Dinge zeigen:

1. dass $x\mapsto d(x,0)$ eine Norm $\|.\|$ ist

und

2. dass für diese Norm $d(x,y)=\|x-y\|$ gilt.

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Ist angekommen. Und dass d(x,0) = ||x|| gilt haben wir oben ja gezeigt. Ist damit 1. schon bewiesen (Normbeweis)? Eigentlich nicht oder?

Entschuldige die Fragerei!

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Ich weiß nicht mehr, welche Normeigenschaften wir

überprüft haben. Am besten, du zeigst nochmal alle

Eigenschaften aufgrund der Eigenschaften von d.

Zum Beispiel $\|x\|=0\Rightarrow x=0$. Da hattest du

wohl noch ein Problem?

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Ist angekommen. Und dass d(x,0) = ||x|| gilt haben wir oben ja gezeigt.

Nein. Das haben wir nicht, sondern wir haben

$\|x\|$ als $d(x,0)$ definiert. Das ist doch etwas ganz anderes.

Eine Definition kann man nicht zeigen.

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Hey ermanus,

ist Normeigenschaft 2. so bewiesen?

Beim vorletzten Schritt bin ich mir nicht sicher, da ich dort die Normeigenschaft benutzt habe, da es mit natürlich schien.

Text erkannt:

$\begin{array}{ll}\|x\|:=d(x, 0) & d(x, y)=\|x-y\| \\ \text { 2. }\|\alpha x\|=d(\alpha x, 0) & \stackrel{b}{=}\|\alpha x-0\| \\ & =\|\alpha x\|=|\alpha|\|x\|=|\alpha| d(x, 0)\end{array}$

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Ich fürchte, dass du heimlich wieder Normeigenschaften verwendest.

Ich würde es so darstellen:

$\|\alpha x\|=d(\alpha x,0)=d(\alpha\cdot x,\alpha\cdot 0)=$

Nun Homogenität von $d$ anwenden:

$=|\alpha|\cdot d(x,0)=|\alpha|\cdot \|x\|$.

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ah du meine Güte. Ja klar! Danke

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Ich bitte um Entschuldigung ....Ich weiss es ist spät, aber kann man die 1. Normeigenschaft so zeigen:

1. ||x|| = 0 dann x=0

||x|| = d(x,0)   und wenn jetzt x = 0 dann gilt

d(0 * x, 0 * 0) Nun Homogenität anwenden  0 * d(x,0) = 0

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Aber warum soll daraus $x=0$ folgen?

Ich glaube, die Sache ist viel einfacher, als

du denkst. Für eine Metrik d gilt ganz allgemein

$d(x,y)=0\iff x=y$, also

$0=\|x\|=d(x,0) \iff x=0$

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Vielen Dank! "Simpel" aber logisch.

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Kann aber folgendes so geschrieben werden:

d(x,y) = d(x-y,y-y) Translationsinvarianz => d(x-y,0) = || x -y ||

Das war noch zu beweisen, wenn ich richtig liege

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Ja. So kannst du das machen!

Nur etwas seltsam aufgeschrieben. Vielleicht eher so?

Wegen der Translationsinvarianz von $d$ gilt

$d(x,y)=d(x-y,y-y)=d(x-y,0)=\|x-y\|$.

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God bless you!