Zahlenfolge und Bildungsgesetz

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgende Zahlenfolge mit a₁ = 14:

14, 16, 13, 52, 57, 51

Ich soll ein explizites Gesetz dazu finden, falls möglich und das siebte Glied a₇ finden.

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass kein explizites Gesetz dazu existiert, komme aber auch nicht auf das siebte Glied.

Comments

Ich weiss, dass kein explizites Gesetz dazu existiert

Das ist interessant. Wie bist Du zu dieser Erkenntnis gekommen?

Answer 1

+2  -3  *4  + 5  - 6  *7 .... Rechenreihenfolge: + - *, + - *

a7 = 51*7 = 357

Comments

Manchmal frage ich mich echt, ob die Fragesteller hier wirklich nicht in der Lage sind sowas selber zu lösen oder ob sie einfach nur zu faul sind.

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Wenn man dieses Gesetz verwendet, würde ich noch den Wert von a₁ angeben. Also nicht nur wie man von einem Glied zum nächsten kommt, sondern auch wie die Folge anfängt.

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Du meinst: Anzugeben ist nicht nur die Induktionsvorschrift sondern auch der Induktionsanfang. Dem stimme ich zu.

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Yep, solange man das Bildungsgesetz rekursiv definiert, so wie hier in des ggT22 Antwort.

Answer 2

Setze 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 in in\( \frac{37}{20} \) x⁵-\( \frac{263}{8} \) x⁴+\( \frac{649}{3} \) x³-\( \frac{5161}{8} \) x²+\( \frac{51529}{60} \) x-385 ein und erhalte 14, 16, 13, 52, 57, 51, 378.

Answer 3

Bildungsgesetz:

\(  \displaystyle a_n = \begin{cases}   14 & \text{; \quad $n \mod 6 = 1$} \\    16 & \text{; \quad $n \mod 6 = 2$} \\    13 & \text{; \quad $n \mod 6 = 3$} \\    52 & \text{; \quad $n \mod 6 = 4$} \\   57 & \text{; \quad $n \mod 6 = 5$} \\   51 & \text{; \quad $n \mod 6 = 0$}   \end{cases} \)

siebtes Glied:

\( a_7 = 14 \)

Answer 4

Ich weiss, dass kein explizites Gesetz dazu existiert,

Jede endliche Zahlenfolge lässt sich explizit durch ein Polynom modellieren.

Wenn du eine explizite Funktion 5. Grades aufstellen möchtest, empfehle ich https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/steckbrief.htm zur Hilfe und Selbstkontrolle.

Eigenschaften

f(0)=14
f(1)=16
f(2)=13
f(3)=52
f(4)=57
f(5)=51

Errechnete Funktion

f(x) = 37/20·x^5 - 189/8·x^4 + 310/3·x^3 - 1399/8·x^2 + 5719/60·x + 14

a7 = f(6) = 37/20·6^5 - 189/8·6^4 + 310/3·6^3 - 1399/8·6^2 + 5719/60·6 + 14 = 378

Comments

Ich habe ein anderes Polynom erhalten (siehe meine geänderte Antwort). Wer hat's richtig?

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Hast du mit f(0) =14 oder mit f(1) = 14 gerechnet?

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Offensichtlich sind beide Ergebnisse richtig.

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Und was ist mit meiner Überlegung?

Wie würde man das als Gesetz formulieren?

Oder geht das hier nicht?

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Du hast eine rekursive Beschreibung gegeben, die auf den angegebenen Anfang der Folge passt. Die Formulierung des Rekursionsanfangs ist a₁=14, a₂=16, a₃=13. Die Formulierung der Rekursionsvorschrift ist nicht ganz einfach. Sie muss vermutlich aus drei verschiedenen Gleichungen sowie der Angabe bestehen, in welchem Falle welche Gleichung zu verwenden ist .

Hier sieht man wieder einmal, dass Bildungsgesetze von Folgen, von denen einige Glieder bekannt sind, nicht zu einem einzigen Ergebnis führen.

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Ich weiss, dass kein explizites Gesetz dazu existiert,

Jede endliche Zahlenfolge lässt sich explizit durch ein Polynom modellieren.

Zu jeder endlichen Zahlenfolge gibt es sogar unendlich viele verschiedene explizite Formeln, durch welche sie (für ihren Definitionsbereich) exakt dargestellt wird !

Die Lösungsidee von  ggT22 (mit den periodisch wiederholt angewandten einfachen Grundoperationen), die im Prinzip beliebig fortgesetzt werden könnte, beschreibt allerdings nicht eine endliche, sondern eine unendliche Folge. Dafür könnte man bestimmt auch eine einheitliche Formel basteln (wozu ich aber im Moment zu faul bzw. zu unmotiviert bin).

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rumar: Jede Formel (an)_n∈ℕ also auch eine Wertefolge f(n) eines Polynoms beschreibt eine unendliche Folge. Sicher könnte man auch zur Idee von ggT22 eine Rekursionsvorschrift basteln. Aber die kann nicht nur aus einem Term (oder einer Gleichung) bestehen. Da braucht es schon eine Fallunterscheidung.

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Hallo Roland:

(1.)  Falls eine Polynomfunktion dazu dienen soll, nur eine abbrechende, also endliche Zahlenfolge zu beschreiben, gehört es natürlich zur Definition dieser Funktion dazu, den (endlichen) Definitionsbereich zu deklarieren. So wird es natürlich auch möglich, eine bestimmte vorgegebene endliche Folge durch unterschiedliche Polynomfunktionen zu beschreiben.

(2.)  Eine Fallunterscheidung (wie in dem interessierenden Beispiel) kann man natürlich ganz einfach durch die Benützung einer modulo-Funktion realisieren. Wer sowas nicht mag, kann die modulo-Funktion auch durch eine Hilfskonstruktion etwa mit trigonometrischen Funktionen umdribbeln.