Term mit Summenformel vereinfachen

Question

Hallo,

kann mir einer erklären, wie man folgende Summenformel vereinfacht:

$$\frac{1}{2}(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n^2-2n\sum \limits_{i=1}^{\ n}i+\sum \limits_{i=1}^{\ n}n+\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2-\sum \limits_{i=1}^{\ n}i) \\ \frac{1}{2}(n^3-n^3-n^2+n^2+\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{2}n)$$

Ich verstehe nicht, warum $n^{3}$ , warum $n^{2}$ , oder woher kommen die ganzen Brüche her.

Danke im Voraus

Comments

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!75:Wichtige_Summenformeln

Answer 1

• $\sum \limits_{i=1}^{\ n}i = \frac{n\cdot\left(n+1\right)}{2}$
• $\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2= \frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}$
  
• $\sum \limits_{i=1}^{\ n}n = n\cdot n$
• $\sum \limits_{i=1}^{\ n}n^2 = n\cdot n^2$
  

Comments

Vielen Dank, jetzt verstehe ich es.

Darf ich noch fragen, wie man von $\frac{n⋅(n+1)}{2}$  auf $\frac{n⋅(n+1)⋅(2n+1)}{6}$ kommt ?

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Man kommt nicht von $\frac{n⋅(n+1)}{2}$  auf $\frac{n⋅(n+1)⋅(2n+1)}{6}$. Man beweist $\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2= \frac{n\cdot\left(n+1\right)\cdot\left(2n+1\right)}{6}$, zum Beispiel mit vollständiger Induktion.

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$\sum\limits_{i=1}^{n}{n}$=n·n

$\sum\limits_{i=1}^{n}{n^2}$=n·n²

Ist das richtig?

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Warum sollte das nicht richtig sein?

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Du hast 5 Summanden. Jeder Summand hat den Wert 3. In der zweiten Klasse hast du gelernt, wie man das kürzer schreiben kann als 3+3+3+3+3, nämlich 5·3.

$\sum \limits_{i=1}^{\ n}n = n\cdot n$

Du hast $n$ Summanden. Jeder Summand hat den Wert $n$.

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Tipp: nicht gleich alles ausmultiplizieren, sondern vorher ausklammern$$\phantom{=}\frac{1}{2}\left(\sum \limits_{i=1}^{\ n}n^2-2n\sum \limits_{i=1}^{\ n}i+\sum \limits_{i=1}^{\ n}n+\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2-\sum \limits_{i=1}^{\ n}i\right)\\ = \frac{1}{2}\left(n^3-(2n+1)\sum \limits_{i=1}^{\ n}i+n^2+\sum \limits_{i=1}^{\ n}i^2\right) \\ = \frac{1}{2}\left(n^3-(2n+1)\cdot \frac{n}{2}(n+1)+n^2+\frac{n}{6}(n+1)(2n+1)\right) \\ = \frac{1}{2}\left(n^3+n^2+n(n+1)(2n+1)\left(\frac{1}{6}-\frac{1}{2}\right)\right) \\ = \frac{n}{2}\left(n(n+1)-\frac{1}{3}(n+1)(2n+1)\right) \\ = \frac{n}{6}(n+1)\left(3n-(2n+1)\right) \\ = \frac{n}{6}(n+1)\left(n-1\right) \\ = \frac{n}{6}\left(n^2-1\right)$$

Answer 2

$$=1/2\sum_{i=1}^n(n^2-2ni+n+i^2-i)$$ der $i$-te Summand ist

$(n-i)^2+(n-i)$. Läuft nun $i$ von $1$ bis $n$, so durchläuft

$n-i$ die Zahlen von $0$ bis $n-1$ in umgekehrter

Reihenfolge, d.h. der Gesamtausdruck ist$$=1/2(\sum_{i=1}^{n-1}i^2+\sum_{i=1}^{n-1}i)=1/6(n-1)n(n+1)$$