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Aufgabe:

Berechne Stationäre punkte von f(x,y) = (3x+2y)x

unter der Nebenbedingung g(x) = (2x3) + (3yx2) - 40


Problem/Ansatz:

Prinzipiell ist mir klar, wie Lagrange funktioniert, lediglich finde ich nur den stationären Punkt (2,2) findet wer noch andere?

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Nebenbedingung g(x)= (2x3)+ (3yx2)-40

Das sieht nicht nach einer Bedingung aus, sondern eher nach einer Funktionsgleichung.

Du meinst als Nebenbedingung 2x3+3yx240=02x^{3}+ 3yx^{2}-40 =0 oder?

Wie lautet die Nebenbedingung?

2 Antworten

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Hallo Nic,

... finde ich nur den stationären Punkt (2,2) findet wer noch andere?

Nein, nur die eine!

Für diese Funktion f(x,y)=(3x+2y)xoptf(x,y)=(3x+2y)x \to \text{opt}soll ein Optimum unter der Nebenbedingung 2x3+3yx240=02x^{3}+3yx^{2}-40 = 0gefunden werden. Aufstellen der Lagrangefunktion nebst Ableiten liefert:L(x,y,λ)=3x2+2xy+λ(2x3+3yx240)Lx=6x+2y+λ(6x2+6xy)0Ly=2x+λ(3x2)0(6x+2y)3x2=2x(6x2+6xy)÷2x,x=0(3x+y)3x=6x2+6xy9x2+3xy=6x2+6xy3x2=3xy÷3xx=yL(x,y,\lambda)= 3x^2+2xy + \lambda(2x^{3}+3yx^{2}-40) \\ L_x = 6x+ 2y + \lambda(6x^2 +6xy) \to 0 \\ L_y = 2x + \lambda(3x^2) \to 0 \\ \begin{aligned} (6x+ 2y)\cdot 3x^2 &= 2x\cdot(6x^2 +6xy) &&|\,\div 2x, \quad x=0\\ (3x+ y)\cdot 3x &= 6x^2 +6xy\\ 9x^2+ 3xy &= 6x^2 +6xy \\ 3x^2&= 3xy &&|\,\div 3x\\ x &= y \end{aligned}Die Zwischenlösung x=0x=0 entfällt, da sie die Nebenbedingung nicht erfüllt. Einsetzen von x=yx=y in die Nebenbedingung liefert    2x3+3x340=0x3=8x=2\begin{aligned}\implies 2x^{3}+3x^{3}-40 &= 0 \\ x^3 &= 8 \\ x &= 2 \\ \end{aligned}nur eine Lösung (im Reellen!). Die Graphik bestätigt das:

Nur bei (22)(2|\,2) liegt ein Punkt bei dem die Höhenlinien von ff parallel zur Nebenbedingung (rot) verlaufen. Nach der Graphik müsste dies ein lokales Minimum sein. Es gibt aber andere Bereiche (x(2,2...0)x \in(\approx -2,2 ... 0)) bei denen der Funktionswert von ff deutlich kleiner ist.

Gruß Werner


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Vielen Dank

Echt Klasse Lösung mit super Bildern, dann hab ich wohl doch nichts übersehen

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Weg ohne Lagrange:

f(x,y)=(3x+2y)xf(x,y) = (3x+2y)*x soll optimal werden

NB: 2x3+3yx240=02x^{3}+ 3yx^{2}-40 =0       3yx2=402x3 3yx^{2} =40-2x^3      y=402x33x2 y =\frac{40-2x^3}{3x^{2} }

f(x)=3x2+80x4x43x2f(x) = 3x^2+\frac{80x-4x^4}{3x^{2} }

df(x)dx=6x+(8016x3)3x2(80x4x4)6x9x4\frac{df(x)}{dx} =6x+\frac{(80-16x^3)*3x^{2}-(80x-4x^4)*6x}{9x^{4} }

6x+(8016x3)3x2(80x4x4)6x9x4=06x+\frac{(80-16x^3)*3x^{2}-(80x-4x^4)*6x}{9x^{4} }=0

x=2x=2        y(2)=40223322=2 y(2) =\frac{40-2*2^3}{3*2^{2} }=2

f(2,2)=(32+22)2=20f(2,2) = (3*2+2*2)*2=20

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