Hallo Nic,
... finde ich nur den stationären Punkt (2,2) findet wer noch andere?
Nein, nur die eine!
Für diese Funktion f(x,y)=(3x+2y)x→optsoll ein Optimum unter der Nebenbedingung 2x3+3yx2−40=0gefunden werden. Aufstellen der Lagrangefunktion nebst Ableiten liefert:L(x,y,λ)=3x2+2xy+λ(2x3+3yx2−40)Lx=6x+2y+λ(6x2+6xy)→0Ly=2x+λ(3x2)→0(6x+2y)⋅3x2(3x+y)⋅3x9x2+3xy3x2x=2x⋅(6x2+6xy)=6x2+6xy=6x2+6xy=3xy=y∣÷2x,x=0∣÷3xDie Zwischenlösung x=0 entfällt, da sie die Nebenbedingung nicht erfüllt. Einsetzen von x=y in die Nebenbedingung liefert⟹2x3+3x3−40x3x=0=8=2nur eine Lösung (im Reellen!). Die Graphik bestätigt das:
Nur bei (2∣2) liegt ein Punkt bei dem die Höhenlinien von f parallel zur Nebenbedingung (rot) verlaufen. Nach der Graphik müsste dies ein lokales Minimum sein. Es gibt aber andere Bereiche (x∈(≈−2,2...0)) bei denen der Funktionswert von f deutlich kleiner ist.
Gruß Werner