Aloha :)
Das folgende Polynom soll mit dem Horner-Schema faktorisiert werden:f(x)=x5β7x4+9x3+9x2+8x+16Als Nullstellen sind uns (β1) und (+4) bekannt.
Wir dividieren daher das Polynom f(x) durch (x+1) mit dem Horner-Schema:1ββ1ββ
(β1)βββ7β1ββ8ββ
(β1)ββ98β17ββ
(β1)ββ9β17ββ8ββ
(β1)ββ88β16ββ
(β1)ββ16β16β0ββ
Daraus lesen wir ab:f(x)=(x+1)β
(x4β8x3+17x2β8x+16)
Die zweite Nullstelle (+4) muss fΓΌr das verbliebene rechte Polynom gelten. Wir dividieren dieses daher mit dem Horner-Schema durch (xβ4):1ββ1ββ
4βββ84ββ4ββ
4ββ17β16β1ββ
4βββ84ββ4ββ
4ββ16β16β0ββ
Daraus lesen wir die weitere Zerlegung ab:f(x)=(x+1)β
(xβ4)β
(x3β4x2+xβ4)
Wenn wir nun in das verbliebene Polynom in der rechten Klammer die bekannten Nullstellen einsetzen, finden wir, dass 4 wieder eine Nullstelle des letzten Polynoms ist. Die 4 ist also eine doppelte Nullstelle. Daher bemΓΌhen wir nochmal das Horner-Schema, um das letzte Polynom durch (xβ4) zu dividieren:1ββ1ββ
4βββ44β0ββ
4ββ10β1ββ
4βββ44β0ββ
Damit haben wir schlieΓlich die finale Zerlegung gefunden:f(x)=(x+1)β
(xβ4)2β
(x2+1)