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Aufgabe:

Faktorisieren Sie die folgenden Polynome:

1. p(x)= x5-7x4+9xΒ³+9xΒ²+8x+16 mit den Nullstellen -1 und 4. Wenden Sie das kaskadierte Hornerschema an.


Problem/Ansatz:

Ich habe nun das Horner Schema fΓΌr die erste Nullstelle angewendet. Muss man nun das selbe fΓΌr die zweite Nullstelle anwenden? Und wie kommt man dann auf die Linearform (Aufgabenstellung faktorisieren)

IMG_8893.jpeg

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Aloha :)

Das folgende Polynom soll mit dem Horner-Schema faktorisiert werden:f(x)=x5βˆ’7x4+9x3+9x2+8x+16f(x)=x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16Als Nullstellen sind uns (βˆ’1)(-1) und (+4)(+4) bekannt.

Wir dividieren daher das Polynom f(x)f(x) durch (x+1)(x+1) mit dem Horner-Schema:1βˆ’799816↓⋅(βˆ’1)βˆ’1β‹…(βˆ’1)8β‹…(βˆ’1)βˆ’17β‹…(βˆ’1)8β‹…(βˆ’1)βˆ’16↓↗↓↗↓↗↓↗↓↗↓1βˆ’817βˆ’8160\begin{array}{rrrrrrrrrrr}1 & &-7 & & 9 & & 9 & & 8 && 16\\\hline\downarrow&\cdot(-1) & -1 &\cdot(-1) & 8 &\cdot(-1) & -17 &\cdot(-1) & 8 &\cdot(-1) & -16\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -8 & & 17 & & -8 & & 16 & & 0\end{array}

Daraus lesen wir ab:f(x)=(x+1)β‹…(x4βˆ’8x3+17x2βˆ’8x+16)f(x)=(x+1)\cdot(x^4-8x^3+17x^2-8x+16)

Die zweite Nullstelle (+4)(+4) muss fΓΌr das verbliebene rechte Polynom gelten. Wir dividieren dieses daher mit dem Horner-Schema durch (xβˆ’4)(x-4):1βˆ’817βˆ’816↓⋅ 44⋅ 4βˆ’16⋅ 44⋅ 4βˆ’16↓↗↓↗↓↗↓↗↓1βˆ’41βˆ’40\begin{array}{rrrrrrrrr}1 & &-8 & & 17 & & -8 & & 16\\\hline\downarrow&\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & -16 &\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & -16\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & -4 & & 1 & & -4 & & 0\end{array}

Daraus lesen wir die weitere Zerlegung ab:f(x)=(x+1)β‹…(xβˆ’4)β‹…(x3βˆ’4x2+xβˆ’4)f(x)=(x+1)\cdot(x-4)\cdot(x^3-4x^2+x-4)

Wenn wir nun in das verbliebene Polynom in der rechten Klammer die bekannten Nullstellen einsetzen, finden wir, dass 44 wieder eine Nullstelle des letzten Polynoms ist. Die 44 ist also eine doppelte Nullstelle. Daher bemΓΌhen wir nochmal das Horner-Schema, um das letzte Polynom durch (xβˆ’4)(x-4) zu dividieren:1βˆ’41βˆ’4↓⋅ 44⋅ 40⋅ 44↓↗↓↗↓↗↓1010\begin{array}{rrrrrrr}1 & &-4 & & 1 & & -4\\\hline\downarrow&\cdot\,4 & 4 &\cdot\,4 & 0 &\cdot\,4 & 4\\\downarrow&\nearrow &\downarrow & \nearrow & \downarrow & \nearrow & \downarrow\\\hline 1 & & 0 & & 1 & & 0\end{array}

Damit haben wir schließlich die finale Zerlegung gefunden:f(x)=(x+1)β‹…(xβˆ’4)2β‹…(x2+1)f(x)=(x+1)\cdot(x-4)^2\cdot(x^2+1)

Avatar von 153 k πŸš€

Jetzt habe ich es verstanden, Danke,

Das ist kein kaskadierendes Hornerschema.

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Ich habe nun das Horner Schema fΓΌr die erste Nullstelle angewendet.

Dadurch bist du zu

        x5βˆ’7x4+9x3+9x2+8x+16= (x+1)(x4βˆ’8x3+17x2βˆ’8x+16)\begin{aligned}&x^5-7x^4+9x^3+ 9x^2 +8x+ 16\\=\,&(x+1)(x^4-8x^3+17x^2-8x+16)\end{aligned}

gekommen.

Wende das Horner-Schema mit der Nullstelle 44 auf das Polynom x4βˆ’8x3+17x2βˆ’8x+16x^4-8x^3+17x^2-8x+16 an um das ursprΓΌngliche Polynom weiter in die Form

        (x+1)(xβˆ’4)(x3+β€¦βˆ’4)(x+1)(x-4)(x^3+\ldots - 4)

zu zerlegen

Avatar von 107 k πŸš€
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p(x)=x5βˆ’7x4+9x3+9x2+8x+16p(x)= x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16   mit den Nullstellen βˆ’1-1 und 44.

Falls das kaskadierte Hornerschema nicht verlangt ist:

Polynomdivision:

(x5βˆ’7x4+9x3+9x2+8x+16) : (x2βˆ’3xβˆ’4)=x3βˆ’4x2+xβˆ’4( x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16):(x^2-3x-4)=x^3 - 4x^2 + x - 4  

(x5βˆ’7x4+9x3+9x2+8x+16) : (x2βˆ’3xβˆ’4)=x3βˆ’4x2+xβˆ’4( x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16):(x^2-3x-4)=x^3 - 4x^2 + x - 4

T4=[1,βˆ’1,2,βˆ’2,4,βˆ’4]T_4=[1,-1, 2,-2,4,-4]   Ausprobieren ergibt x=4x=4

Polynomdivision:

(x3βˆ’4x2+xβˆ’4) : (xβˆ’4)=x2+1(x^3 - 4x^2 + x - 4):(x-4)=x^2+1

p(x)=x5βˆ’7x4+9x3+9x2+8x+16=(x+1)(xβˆ’4)(xβˆ’4)(x2+1)p(x)= x^5-7x^4+9x^3+9x^2+8x+16=(x+1)(x-4)(x-4)(x^2+1)



Avatar von 42 k

In der Mathematik wird gerechnet und nicht geraten.

x3βˆ’4x2+xβˆ’4=(xβˆ’4)x2+(xβˆ’4)=(xβˆ’4)(x2+1) x^3-4x^2+x-4 = \left(x-4\right)x^2+\left(x-4\right) = \left(x-4\right)\left(x^2+1\right)

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