Vorab : Ich habe hier I2 als das Symbol fu¨r die 2er-Einheitsmatrix verwendet, dabei mir mathbbm, etc. nicht funktioniert hat.Aufgabe : Wir wollen hier zeigen, dass die Menge M der (2 x 2)-Matrizen A, welche AB = BA fu¨r alle (2 x 2)-Matrizen B erfu¨llen genau durch die Menge R⋅I2={λ⋅I2∣λ∈R} gegeben ist. Dabei gehen wir wie folgt vor : i) Zuna¨chst behandeln wir die Inklusion R⋅I2. Rechnen Sie nach, dass eine MatrixA∈R⋅I2 wirklich die Gleichung AB=BA fu¨r alle (2 x 2)-Matrizen B erfu¨llt.ii) Nun mu¨ssen wir noch die Inklusion M∈R⋅I2 nachweisen. Berechnen Sie hierfu¨r fu¨r eine Matrix A∈M die MatrixprodukteA⋅(0010),(0010)⋅A,A⋅(0100) und (0100)⋅A und nutzen Sie dann aus, dass A aus M stammt.
Reicht es bei der i), wenn ich folgendes sage : Sei x,y,z,w∈RA=(xzyw), B=(1001)A⋅B : (xzyw)(1001)=(xzyw)B⋅A : (1001)(xzyw)=(xzyw)Und dann sowas sage, wie : Da AB = BA wurde die Inklusion gezeigt?
Bei der ii) steh ich total auf dem Schlauch.A kann ja eigentlich jede Form annehmen und z.B. bei A⋅(0010) kommt immer (00yw) raus und bei(0010)⋅A kommt immer (x0y0) raus.Ich verstehe irgendwie nicht so ganz, was ich zeigen soll. Ko¨nnte mir jemand dabei helfen?