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Vorab :  Ich habe hier I2 als das Symbol fu¨r die 2er-Einheitsmatrix verwendet, dabei mir mathbbm, etc. nicht funktioniert hat.Aufgabe : Wir wollen hier zeigen, dass die Menge M der (2 x 2)-Matrizen A, welche AB = BA fu¨r alle (2 x 2)-Matrizen B erfu¨llen genau durch die Menge RI2={λI2λR} gegeben ist. Dabei gehen wir wie folgt vor : i) Zuna¨chst behandeln wir die Inklusion RI2. Rechnen Sie nach, dass eine MatrixARI2 wirklich die Gleichung AB=BA fu¨r alle (2 x 2)-Matrizen B erfu¨llt.ii) Nun mu¨ssen wir noch die Inklusion MRI2 nachweisen. Berechnen Sie hierfu¨r fu¨r eine Matrix AM die MatrixprodukteA(0100),(0100)A,A(0010) und (0010)A und nutzen Sie dann aus, dass A aus M stammt.\text{Vorab: Ich habe hier }\mathbb{I}_2 \text{ als das Symbol für die 2er-Einheitsmatrix verwendet, da}\\\text{bei mir mathbbm, etc. nicht funktioniert hat.}\\\\\text{Aufgabe:}\\ \text{Wir wollen hier zeigen, dass die Menge M der (2 x 2)-Matrizen A, welche AB = BA }\\\text{für alle (2 x 2)-Matrizen B erfüllen genau durch die Menge } \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 = \{λ \cdot \mathbb{I}_2 | λ \in \mathbb{R}\} \text{ gegeben ist. }\\\text{Dabei gehen wir wie folgt vor:} \\\text{i) Zunächst behandeln wir die Inklusion } \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 \text{. Rechnen Sie nach, dass eine Matrix}\\ A \in \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 \text{ wirklich die Gleichung AB=BA für alle (2 x 2)-Matrizen B erfüllt.}\\\text{ii) Nun müssen wir noch die Inklusion } M \in \mathbb{R} \cdot \mathbb{I}_2 \text{ nachweisen. Berechnen Sie }\\\text{hierfür für eine Matrix } A \in M \text{ die Matrixprodukte}\\A \cdot \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} \cdot A, A \cdot \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix}0 & 0\\1 & 0\end{pmatrix} \cdot A \\\text{ und nutzen Sie dann aus, dass A aus M stammt}.


Reicht es bei der i), wenn ich folgendes sage : Sei x,y,z,wRA=(xyzw)B=(1001)AB : (xyzw)(1001)=(xyzw)BA : (1001)(xyzw)=(xyzw)Und dann sowas sage, wie :  Da AB = BA wurde die Inklusion gezeigt?\text{Reicht es bei der i), wenn ich folgendes sage:}\\ \text{Sei } x,y,z,w \in \mathbb{R}\\ A = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \text{, } B = \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\\A \cdot B:\\\begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix}\\B \cdot A:\\\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \\\text{Und dann sowas sage, wie: Da AB = BA wurde die Inklusion gezeigt?}


Bei der ii) steh ich total auf dem Schlauch.A kann ja eigentlich jede Form annehmen und z.B. bei A(0100) kommt immer (0y0w) raus und bei(0100)A kommt immer (xy00) raus.Ich verstehe irgendwie nicht so ganz, was ich zeigen soll. Ko¨nnte mir jemand dabei helfen?\text{Bei der ii) steh ich total auf dem Schlauch.} \\\text{A kann ja eigentlich jede Form annehmen und z.B. bei } \\A \cdot \begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} \text{ kommt immer } \begin{pmatrix}0 & y\\0 & w\end{pmatrix} \text{ raus und bei} \\\begin{pmatrix}0 & 1\\0 & 0\end{pmatrix} \cdot A \text{ kommt immer } \begin{pmatrix}x & y\\0 & 0\end{pmatrix} \text{ raus.} \\\text{Ich verstehe irgendwie nicht so ganz, was ich zeigen soll. Könnte mir jemand dabei helfen?}

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Rechnen Sie nach, dass eine MatrixARI2 wirklich die Gleichung AB=BA fu¨r alle (2 x 2)-Matrizen B erfu¨llt. \text{Rechnen Sie nach, dass eine Matrix} A \in \mathbb{R}\mathbb{I}_2 \text{ wirklich die Gleichung AB=BA für alle (2 x 2)-Matrizen B erfüllt.}

Wenn ARI2 A \in \mathbb{R}\mathbb{I}_2   gilt, dann sieht A doch so aus:

 A=(a00a) A = \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix} mit einem a∈ℝ.

Und für das B hast du die Form B=(xyzw) B = \begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix}

mit x,y,z,w ∈ℝ.

Dann ist deine Rechnung im Prinzip OK:

BA=(xyzw)(a00a)=(axayazaw) B \cdot A=\begin{pmatrix}x & y\\z & w\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ax & ay\\az & aw\end{pmatrix}

und bei AB A \cdot B   entsprechend, also gilt AB=BA A \cdot B = B \cdot A .

Damit ist die Inklusion RI2M \mathbb{R}\mathbb{I}_2 \subset M gezeigt .

Bei der Inklusion MRI2 M \subset \mathbb{R}\mathbb{I}_2 musst du zeigen:

Wenn eine Matrix A mit allen (2x2)-Matrizen B kommutiert,

dann ist sie von der Form A=(a00a) A = \begin{pmatrix}a & 0\\0 & a\end{pmatrix} .

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Alles klar, verstanden. Vielen Dank! :)

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