Differentialrechnung Verständnis

Question

Eine grundsätzliche Frage zum Verständnis von Ableitungen.

Wie würde ihr diesen Ausdruck:

df(x) = f´(x)·dx

in Hinblick auf df(x) bzw dy, und ohne Umzustellen interpretieren?

Answer 1

Aloha :)

Für kleine Änderungen über einem Intervall $\Delta x$ gilt:$$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot\Delta x$$

Macht man das Intervall infinitesimal klein $(\Delta x\to0)$ geht der Bruch in den Differentialquotienten bzw. in die erste Ableitung über. Zur Verdeutlichung der Kleinheit von $\Delta x$ und damit einhergehend auch der Kleinheit von $\Delta f$ schreibt man an Stelle des $\Delta$ ein kleines $d$.$$df=f'(x)\cdot dx$$Eigentlich müsste es $df\approx f'(x)\cdot dx$ heißen, da die Ableitung nur exakt am Punkt $x$ definiert ist, wir aber trotzdem die Änderung auf dem winzigen Intervall $[x;x+dx]$ betrachten.

Also langer Rede kurzer Sinn, betrachte $dx$ einfach als winzig kleines $\Delta x$.

Comments

Vielen lieben Dank schon einmal für deine ausführliche Antwort!

Δf(x₀) heißt dann eine Veränderung des Funktionswertes (bildlich: ein Stückchen die y-Achse hoch oder runter, je nach VZ) ad Stelle x₀ für das Intervall Δx bzw in Abhängigkeit des Δx?

Ich denke ich begreife den Operator Δ, zb Beispiel im Ausdruck Δf(x₀), noch nicht vollständig. Für mich ließt sich das wie eine Differenz eines konkreten Wertes. ZB x₀= 1 und f(x) = 2x

Dann hätte ich doch für f(1)= 2 und Δf(1) = 0

Oder muss ich Δf(x₀) als Ergebnis der mittleren bzw rechten Seite des oben aufgeführten Terms betrachten?

Die Differentialrechnung an sich hab ich drauf, ich habe nur noch nie so genau hingeschaut.

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In der Natur gilt die Heisenberg'sche Uschärferelation:$$\Delta x\cdot\Delta p\ge\frac{h}{4\pi}$$Sie besagt, dass man den Ort $x$ und den Impuls $p=m\cdot v$ eines Teilchens nie exakt messen kann. Es gibt immer eine Unschärfe $\Delta x$ bzw. $\Delta p$.

Wenn du z.B. die Geschwindigkeit $v$ bzw. den Impuls $p=m\cdot v$ eines fallenden Teilchens messen möchtest, brauchst du zwei Momentaufnahmen, einen Anfangsort zu einer Anfangszeit $(x(t);t)$ sowie einen Endort zu einem späteren Zeitpunkt $(x(t+\Delta t);t+\Delta t)$. Die ermittelte Geschwindigkeit ist dann:$$v=\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{(t+\Delta t)-t}=\frac{\Delta x}{\Delta t}$$Du kennst nun die Geschwindigkeit, weißt aber nicht, für welchen Ort sie genau gegolten hat, für den Startort $x$ oder für den Endort $(x+\Delta x)$ oder für einen Ort irgendwo dazwischen? Du kennst nur die Durchschnittsgeschwindigkeit des Teilchens im Strecken-Intervall $\Delta x$.

Du kannst noch nicht mal den Ort $x$ des Teilchens mit einer einzigen Momentaufnahme exakt messen, weil selbst dieser eine Messvorgang eine gewisse Zeit $\Delta t$ benötigt, in dem das Teilchen seinen Ort ändern kann.

Mit $\Delta$ bezeichnet man Intervalle mit einer Länge größer $0$.

Auf Grund der physikalischen Gesetze kannst du jedoch die Flugbahn des Teilchens im Fallen vorhersagen. In der Mathematik kann man dann die Momentan-Geschwindigkeit des Teilchens am Ort $x$ berechnen, indem man die Ableitung der Flugbahn bestimmt. In diesem Fall wird das Zeitintervall $\Delta t$, das sonst für den Messvorgang benötigt wird, mathematisch unendlich klein gegen $0$ gerechnet:$$v=\frac{dx}{dt}=\lim\limits_{\Delta t\to0}\frac{x(t+\Delta t)-x(t)}{\Delta t}$$

Mit $\;d\;$ bezeichnet man auf die Länge $0$ schrumpfende Intervalle.

Das eigentlich Interessante daran ist, dass durch die Differentialrechnung einem Bruch $\frac{0}{0}$ in gewisser Weise eine reelle Zahl zugeordnet werden kann. Dies geht in der realen Welt wegen der Heisenberg'schen Unschärferelation nicht.

Answer 2

Ein Differential (oder Differenzial) bezeichnet in der Analysis den linearen Anteil des Zuwachses einer Variablen oder einer Funktion und beschreibt einen unendlich kleinen Abschnitt auf der Achse eines Koordinatensystems.

Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Differential_(Mathematik)