0 Daumen
507 Aufrufe

SmartSelect_20231124_103045_Squid.jpg

Text erkannt:

Aufgabe 6.4
6.4 Seien x1,x2R x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} die zwei Lösungen dex Gleichung x2=x+1 x^{2}=x+1
(a) Zeigen Sic, dess x1+x2=1 x_{1}+x_{2}=1 gilt.
(1 Punkt)
Die Lucas-Zahlen sind rekursiv definiert durch L0=2,L1=1 L_{0}=2, L_{1}=1 und Ln=Ln1+ L_{n}=L_{n-1}+
Ln2 L_{n-2} für n2 n \geqslant 2 .
(A Punktes)
Ln=x1n+x2n L_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}
(c) Zeigen Sie, dass fuir alle nN0 n \in \mathbb{N}_{0} gilt:
Tn=(1+52)n+(152)n T_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}
(1 Punkt)
a) Seien x1,x2R x_{1}, x_{2} \in \mathbb{R} die zwei lösungen des Gleichung x2=x+1 x^{2}=x+1 .
Z.z.:
x1+x2=1x2=x+1x1x2x1=0pq Formel x112=112±(12)2(1)x1,20,5±54x1=1+52x2=152 ceiusetzen in x1+x2=11+52+152=1 \begin{aligned} x_{1}+x_{2}=1 \quad \rightarrow \quad x^{2} & =x+1|-x|-1 \\ x^{2}-x-1 & =0 \quad \mid p-q \text { Formel } \\ x_{112} & =-\frac{11}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}-(-1)} \\ x_{1,2} & -0,5 \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \\ & x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \quad \text { ceiusetzen in } x_{1}+x_{2}=1 \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}+\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1 & \end{aligned}
b) cuas-zalicen: c0=2c1=1cn=cn+1+cn2 c_{0}=2 \quad c_{1}=1 \quad c_{n}=c_{n+1}+c_{n-2} füs n2 n \geqslant 2
z.z. dwch Indutetion nN0 \forall n \in \mathbb{N}_{0} gill Ln=x1n+x2n L_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n}
IA :  I_{A}: Für n=0L0=2=1+1=x10+x20 n=0 \quad L_{0}=2=1+1=x_{1}^{0}+x_{2}^{0}
IAN :  I_{A N}: Angenommen die Behauptung gilt füs ain festes nello:
IB :  I_{B}: z.z. ist Ln+1=x1n+1+x2n+1 L_{n+1}=x_{1}^{n+1}+x_{2}^{n+1} (zicl)
wenn Ln=Ln1+Ln2Ln+1=Ln+Ln1 L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2} \Rightarrow L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}
Nach IAN : Ln=x1n+x2n I_{A N}: L_{n}=x_{1}^{n}+x_{2}^{n} und Ln1=x1n1+x2n1Ln+1=(x1n+x2n)+(x1n1+x2n+1) L_{n-1}=x_{1}^{n-1}+x_{2}^{n-1} \Rightarrow L_{n+1}=\left(x_{1}^{n}+x_{2}^{n}\right)+\left(x_{1}^{n-1}+x_{2}^{n+1}\right)
Ln+1=(x1n+x1n1)+(x2n+x2n1) \Rightarrow L_{n+1}=\left(x_{1}^{n}+x_{1}^{n-1}\right)+\left(x_{2}^{n}+x_{2}^{n-1}\right) \Rightarrow
IA : Tωˉn=0 : L0=2IB :  I_{A}: T_{\bar{\omega}} n=0: L_{0}=2 \quad \quad I_{B}: wenn Ln=Ln1+Ln2Ln+1=Ln+Ln1 L_{n}=L_{n-1}+L_{n-2} \Rightarrow L_{n+1}=L_{n}+L_{n-1}
\Rightarrow nach IAN : Ln=(1+52)n+(152)n I_{A N}: L_{n}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} und
Ln1=(1+52)n1+(152)n1 L_{n-1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}

IAN: Angenommen die Bolauptung gilt fis ein festes nN0 n \in \mathbb{N}_{0}
Ln+1=(1+52)n+(152)n+(1+52)n1+(152)n1 \Rightarrow L_{n+1}=\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} \text {. }

An sich habe ich die Aufgabe ja schon fast gelöst, nur bin ich mir bei b und c nicht genau sicher, welche Potenzgesetze ich hier nun weiter verwenden kann, um mein Ziel zu erreichen? Hat jemand vielleicht eine Idee?

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Hallo,

hat jemand vielleicht eine Idee?

Ja - verwende die Beziehung x2=x+1x^2=x+1Ln+1=Ln+Ln1=x1n+x2n+x1n1+x2n1=(x1+1)x1n1+(x2+1)x2n1x1,22=x1,2+1=x12x1n1+x22x2n1=x1n+1+x2n+1q.e.d.\begin{aligned} L_{n+1} &= L_{n} + L_{n-1}\\ &= x_1^{n} + x_2^{n} + x_1^{n-1} + x_2^{n-1}\\ &= \left(x_1 + 1\right)x_1^{n-1} + \left(x_2 +1\right) x_2^{n-1}&& |\, x_{1,2}^2=x_{1,2}+1\\ &= x_1^2\cdot x_1^{n-1} + x_2^{2}\cdot x_2^{n-1}\\ &= x_1^{n+1} + x_2^{n+1}\\ &\text{q.e.d.} \end{aligned}Bem.: Im Induktionsanfang musst Du den Zusammenhang für zwei(!) auf einander folgende nn zeigen.

Bem2.; für a) reicht der Satz von Vieta oder auch ein Koeffizientenvergleich vonx2=x+1x2x1=0(xx1)(xx2)=0x2(x1+x2)=1x+x1x2=0\begin{aligned}x^2&=x+1 \\x^2-x-1 &= 0\\ (x-x_1)(x-x_2) &= 0 \\ x^2 - \underbrace{(x_1+x_2)}_{=1}x + x_1x_2 &=0 \end{aligned}es ist also nicht nötig, die Gleichung zu lösen.

Gruß Werner

Avatar von 49 k

Vielen Dank!!!

Das ist wirklich sehr hilfreich und nachvollziehbar. Tatsächlich hatte ich auch schon die Idee mit der Aussage aus a weiter zu arbeiten. Hatte nur Probleme dies Mathematisch tüchtig aufzuschreiben.

Aber eine Frage habe ich noch. Kann ich bei c, auch so ähnlich wie bei b Vorgehen also die Beziehung aus x2 =x+1 verwenden oder wäre für c eine andere Vorgehensweise sinnvoller?

Für c) musst Du dann nur noch zeigen, dass x1,2=1±52x_{1,2} = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}Das hast Du ja schon in a) getan. Was aber dort nicht nötig gewesen wäre (siehe Bem2. in meiner Antwort).

Da mit b) bereits Ln=x1n+x2nL_n=x_1^n +x_2^n gezeigt wurde, reicht das aus. Ansonsten wäre es eine Wiederholung der identischen Rechnung.

Achso okay, wirklich nochmal vielen Dank, dann waren meine Gedanken, die ich nicht aussprechen wollte richtig. Da mir halt schon Aufgefallen ist das der Term ja der gleiche ist den ich ausgerechnet hatte in a. Ich glaube man sollte seinem Bauchgefühl einfach mal vertrauen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage