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Aufgabe 6.4
6.4 Seien x1,x2∈R die zwei Lösungen dex Gleichung x2=x+1
(a) Zeigen Sic, dess x1+x2=1 gilt.
(1 Punkt)
Die Lucas-Zahlen sind rekursiv definiert durch L0=2,L1=1 und Ln=Ln−1+
Ln−2 für n⩾2.
(A Punktes)
Ln=x1n+x2n
(c) Zeigen Sie, dass fuir alle n∈N0 gilt:
Tn=(21+5)n+(21−5)n
(1 Punkt)
a) Seien x1,x2∈R die zwei lösungen des Gleichung x2=x+1.
Z.z.:
x1+x2=1→x2x2−x−1x112x1,221+5+21−5=1=x+1∣−x∣−1=0∣p−q Formel =−211±(−21)2−(−1)−0,5±45x1=21+5x2=21−5 ceiusetzen in x1+x2=1
b) cuas-zalicen: c0=2c1=1cn=cn+1+cn−2 füs n⩾2
z.z. dwch Indutetion ∀n∈N0 gill Ln=x1n+x2n
IA : Für n=0L0=2=1+1=x10+x20
IAN : Angenommen die Behauptung gilt füs ain festes nello:
IB : z.z. ist Ln+1=x1n+1+x2n+1 (zicl)
wenn Ln=Ln−1+Ln−2⇒Ln+1=Ln+Ln−1
Nach IAN : Ln=x1n+x2n und Ln−1=x1n−1+x2n−1⇒Ln+1=(x1n+x2n)+(x1n−1+x2n+1)
⇒Ln+1=(x1n+x1n−1)+(x2n+x2n−1)⇒
IA : Tωˉn=0 : L0=2IB : wenn Ln=Ln−1+Ln−2⇒Ln+1=Ln+Ln−1
⇒ nach IAN : Ln=(21+5)n+(21−5)n und
Ln−1=(21+5)n−1+(21−5)n−1
IAN: Angenommen die Bolauptung gilt fis ein festes n∈N0
⇒Ln+1=(21+5)n+(21−5)n+(21+5)n−1+(21−5)n−1.
An sich habe ich die Aufgabe ja schon fast gelöst, nur bin ich mir bei b und c nicht genau sicher, welche Potenzgesetze ich hier nun weiter verwenden kann, um mein Ziel zu erreichen? Hat jemand vielleicht eine Idee?