Zeigen mithilfe der Exponentialfunktion

Question

Wie kann man cos(x)² = (1+cos(2x))/2 mit Hilfe der Exponentialfunktion beweisen?

Comments

Für z = e^iφ =  cos φ + i sin φ  berechne z·z-quer sowie z² jeweils auf zwei Arten und vergleiche die Realteile.

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Tipp beim Vergleichen der Realteile:

COS(x)² = (1 + COS(2·x))/2
2·COS(x)² = 1 + COS(2·x)
2·COS(x)² - 1 = COS(2·x)
COS(2·x) = 2·COS(x)² - 1

Answer 1

Aloha :)

Ich würde nur den Realteil betrachten:$$\frac{1+\cos(2x)}{2}=\frac12+\frac12\cos(2x)=\frac12+\frac12\operatorname{Re}\left(e^{i2x}\right)=\frac12+\frac12\operatorname{Re}\left(\left(e^{ix}\right)^2\right)$$$$\qquad=\frac12+\frac12\operatorname{Re}\left(\left(\cos x+i\sin x\right)^2\right)=\frac12+\frac12\operatorname{Re}\left(\cos^2x+2i\sin x\cos x+(i\sin x)^2\right)$$$$\qquad=\frac12+\frac12(\cos^2x-\sin^2x)=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{2}+\frac{\cos^2x-\sin^2x}{2}=\cos^2x$$