Zeige durch ein Beispiel, daß die Folge (xn)n∈N nicht konvergieren muß.

Question

Aufgabe:

Es sei f : R −→ R eine Funktion und (xn)n∈N eine beschränkte Folge
in R, so daß die Folge (f(xn))n∈N konvergiert.
(a) Zeige durch ein Beispiel, daß die Folge (xn)n∈N nicht konvergieren muß.
(b) Zeige, wenn f stetig und streng monoton ist, dann ist (xn)n∈N konvergent

Problem/Ansatz:

(b) wird nicht verstanden

Answer 1

Die Folge \((x_n)\) ist beschränkt ist, sagen wir \(x_n \in [a,b]\) und f sei streng monoton wachsend. Dann ist die Einschränkung \(f:[a,b] \to [f(a),f(b)]\) bijektiv und ihre Umkehrfunktion ebenfalls stetig. DAnn gilt

$$f(x_n) \to y \Rightarrow x_n \to f^{-1}(y)$$

Die Frage ist, ob Ihr die benutzten Infos schon besprochen habt oder Euch für die Aufgabe eine eigene Überlegung zusammenbasteln sollt?