Question

Sind die folgende Abbildungen linear? Untersuchen Sie, ob sie injektiv, surjektiv, oder bijektiv sind

Text erkannt:

(a)
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x_{2} \\ x_{1}+x_{2} \end{array}\right)$
(b)
$f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2},\left(\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}\right) \mapsto\left(\begin{array}{c} x_{1} \cdot x_{2} \\ x_{1}+x_{2} \end{array}\right)$

Answer 1

Aloha :)

Eine Abbildung: $f\colon V\to W$ über einem Körper $\mathbb K$ heißt linear, wenn gilt:$$(1)\quad f(x+y)=f(x)+f(y)\quad\text{ für }x;y\in V\quad\text{(additiv)}$$$$(2)\quad f(k\cdot x)=k\cdot f(x)\quad\text{ für }k\in\mathbb K\;;\;x\in V\quad\text{(homogen)}$$Die beiden Forderungen musst du prüfen.

zu a) $\quad f(\vec x)=f\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_2}{x_1+x_2}$

$$(1)\quad f(\vec x+\vec y)=f\binom{x_1+y_1}{x_2+y_2}=\binom{x_2+y_2}{(x_1+y_1)+(x_2+y_2)}$$$$\qquad\qquad\;\qquad=\binom{x_2+y_2}{(x_1+x_2)+(y_1+y_2)}=\binom{x_1}{x_1+x_2}+\binom{y_2}{y_1+y_2}$$$$\qquad\qquad\;\qquad=f\binom{x_1}{x_2}+f\binom{y_1}{y_2}=f(\vec x)+f(\vec y)\quad\checkmark$$

$$(2)\quad f(k\cdot\vec x)=f\binom{kx_1}{kx_2}=\binom{kx_2}{kx_1+kx_2}=\binom{kx_2}{k(x_1+x_2)}$$$$\qquad\qquad\qquad\!=k\binom{x_2}{x_1+x_2}=kf\binom{x_1}{x_2}=k\cdot f(\vec x)\quad\checkmark$$

Die Abbildung ist also linear.

zu b) $\quad f(\vec x)=f\binom{x_1}{x_2}=\binom{x_1\cdot x_2}{x_1+x_2}$

$$(2)\quad f(k\cdot\vec x)=f\binom{kx_1}{kx_2}=\binom{kx_1\cdot kx_2}{kx_1+kx_2}=\binom{k\cdot kx_1x_2x_2}{k(x_1+x_2)}$$$$\qquad\qquad\qquad\!=k\binom{k\,x_1x_2}{x_1+x_2}\pink\ne k\binom{x_1x_2}{x_1+x_2}=kf\binom{x_1}{x_2}=kf(\vec x)$$Die Abbildung ist nicht homogen und daher auch nicht linear.

Comments

Ist zum Widerlegen der Homogenität bei b) nicht ein konkretes Gegenbeispiel besser ?

---

Grundsätzlich ja, da man in der Regel ja schnell eines findet.

---

Tschakabumba hat das ja nett vorgerechnet.

Das Zeichnen ≠ gilt ja fast immer, außer für

k²=k  oder x1=0 oder x2=0.

Also muss man bei der Auswahl des Gegenbeispiels

nur darauf achten, dass man nicht zufällig einen dieser

Fälle erwischt.

Answer 2

a) ja und b) nicht. Rechne die Eigenschaften nach. Das ist nur stupides Einsetzen und ausrechnen.

Wenn das nicht klappt, sag was du nicht verstehst.