Orthogonalität und Abstandsberechnungen in Hyperebenen des R^n

Question

Eine Teilmenge \( H \) des \( \mathbb{R}^{n} \) heißt Hyperebene, falls \( H \) ein affiner Unterraum der Dimension \( (n-1) \) ist, d.h. es existiert ein \( v \in \mathbb{R}^{n} \) und ein Untervektorraum \( W \subset \mathbb{R}^{n} \) der Dimension \( (n-1) \), sodass \( H=v+W \) (Beispiele: Eine Gerade beschreibt eine Hyperebene im \( \mathbb{R}^{2} \), eine Ebene beschreibt eine Hyperbene im \( \left.\mathbb{R}^{3}, \ldots\right) \). Ist \( H= \) \( v+\operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{n-1}\right) \subset \mathbb{R}^{n} \) eine Hyperebene, so heißt \( s \in \mathbb{R}^{n} \) orthogonal zu \( H \), wenn \( \langle s, x-y\rangle=0 \) für alle \( x, y \in H \).
Zeigen Sie:
a) \( s \) ist orthogonal zu \( H \Leftrightarrow s \perp w_{i} \) für \( i=1, \ldots, n-1 \).
b) Ist die Hyperebene gegeben durch \( H=\left\{\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right) \in \mathbb{R}^{n}: a_{1} x_{1}+\ldots+a_{n} x_{n}=b\right\} \), so ist \( \left(a_{1}, \ldots, a_{n}\right) \) orthogonal zu \( H \).

Ist die Hyperebene \( H \) also durch eine Gleichung wie in (b) gegeben, so kann leicht ein orthogonaler Vektor zu \( H \) bestimmt werden. Ist \( H \subset \mathbb{R}^{n} \) eine Hyperebene und \( u \in \mathbb{R}^{n} \), so ist der Abstand zwischen \( u \) und \( H \) definiert durch:
\( d(u, H):=\min \{\|x-u\|: x \in H\} \)

Beweisen Sie:
c) Es gibt ein eindeutig bestimmtes \( \tilde{x} \in H \), sodass \( (\tilde{x}-u) \) orthogonal zu \( H \) ist und es gilt \( d(u, H)=\|\tilde{x}-u\| \) (der senkrechte Abstand ist also der kürzeste).
Tipp: Für dieser Teilaufgabe könnte es von Nutzen sein mit einer Orthogonalbasis von \( W \) zu arbeiten. Diese kann z.B. mithilfe des Gram-Schmidtschen-Orthonormalisierungsverfahrens aus den linear unabhängigen Vektoren \( w_{1}, \ldots, w_{n-1} \) mit \( W=\operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{n-1}\right) \) berechnet werden.

Answer 1

a)  \( s \) ist orthogonal zu \( H  \)   ==>    \( \langle s, x-y\rangle=0 \) für alle x,y ∈ H.

Sei   \( s \) ist orthogonal zu \( H \)

z.zg.:  \( \Rightarrow s \perp w_{i} \) für \( i=1, \ldots, n-1 \).

Nach Def. gilt   \( \langle s, x-y\rangle=0 \) für alle x,y ∈ H.

Sei i∈{1,...,n-1}. Dann betrachte \( x=  v + 2w_i  \) und   \( y=  v + w_i \).

Wegen \( \langle s, x-y\rangle=0 \) gilt \( \langle s, w_i \rangle=0 \) also \( s \perp w_{i} \). q.e.d.

Jetzt noch die andere Richtung. Bedenke, dass die \( \left(w_{1}, \ldots, w_{n-1}\right) \) eine

Basis bilden für \( W=\operatorname{span}\left(w_{1}, \ldots, w_{n-1}\right) \).