Maximum und Minimum auf R^2

Question

Sei \( f \) gegeben durch \( f(x, y)=x y e^{-\left(x^{2}+y^{2}\right)} \). Zeigen Sie

(b) \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) besitzt ein Maximum und Minimum.

Problem/Ansatz:

Es darf nicht gerechnet werden. Der Satz mit dem kompakten Definitionsbereich funktioniert nicht. Jetzt habe ich die Limites für x,y gegen +- unendlich betrachtet und die sind alle 0. Aber das gibt mir doch noch keine Aussage oder?

Answer 1

Hallo

die e fkt ist monoton fallend mit x,y. Maximalwert bei x=y=0 Minimalwert 1 bei oo

f= xy für x*y>0 ist  wachsend, anfangs stärker als  die e Fkt, deshalb für xy zwischen 0 und 1 eine max, entsprechend für xy<0 ein Min d.h. man hat 2 Max, x>0 und y>0 und x<0und y<0. entsprechend 2 Min.

Gruß lul