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Aufgabe:

(ii) Sei F={(zy)R3 : z=1xy,x0,y0,z0} F=\left\{\left(\begin{array}{l}z \\ y\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{3}: z=1-x-y, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0\right\} und v(x,y,z)=(0x+yz) v(x, y, z)=\left(\begin{array}{c}0 \\ x+y \\ z\end{array}\right) .


Berechnen Sie
FvdO \int \limits_{F} v d O



Meine Lösung wäre:


meineloesungwaere2update.png

Problem/Ansatz:

Hallo zusammen!

Ich versuche diese Frage schon ewig zu lösen, aber bin mir nicht wirklich sicher ob es so stimmt. Wenn nicht, dann bitte könnt ihr mir dabei helfen, wie ich da hier weiterrechnen soll.

Danke!

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Ist die Fläche FF tatsächlich so angegeben?
Nur zwei Koordinaten? zz über yy?

Ja, genau, es ist eigentlich so angegeben

1 Antwort

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Aloha :)

Überlege dir zuerst einen Ortsvektor r\vec r, der alle Punkte der Fläche FF abtastet. Dabei ermittelst du insbesondere die nötigen Integrationsintervalle, die in deiner Rechnung fehlen. Beachte, dass alle Koordinaten 0\ge0 sein müssen. Damit dies auch für die zz-Koordinate gilt, muss gelten:z=1xy=1(x+y)0!    (x+y)1z=1-x-y=1-(x+y)\stackrel{!}{\ge0}\implies(x+y)\le1Wir können also zunächst x[0;1]x\in[0;1] frei wählen, sind danach aber bei der Wahl von yy auf das Intervall [0;1x][0;1-x] eingeschränkt :r(x;y)=(xy1xy);x[0;1];y[0;1x]\vec r(x;y)=\begin{pmatrix}x\\y\\1-x-y\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[0;1]\quad;\quad y\in[0;1-x]

Das Flächenelement dfd\vec f am Ort r(x;y)\vec r(x;y) lautet nun:df=(rx×ry)dxdy=(101)×(011)dxdy=(111)dxdyd\vec f=\left(\frac{\partial \vec r}{\partial x}\times\frac{\partial\vec r}{\partial y}\right)dx\,dy=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix}\,dx\,dy=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}dx\,dy

Das gesuchte Flussintegral über das Vektorfeld v\vec v ist daher:ϕ=x=01y=01x(0x+yz=1xy)(111)dxdy=x=01y=01x(x+y+1xy)dxdy\phi=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}\begin{pmatrix}0\\x+y\\z=1-x-y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}(x+y+1-x-y)\,dx\,dyϕ=x=01y=01xdxdy=x=01[y]y=01xdx=01(1x)dx=[xx22]01=112=12\phantom\phi=\int\limits_{x=0}^1\int\limits_{y=0}^{1-x}dx\,dy=\int\limits_{x=0}^1\left[y\right]_{y=0}^{1-x}dx=\int\limits_0^1(1-x)\,dx=\left[x-\frac{x^2}{2}\right]_0^1=1-\frac12=\frac12

Avatar von 153 k 🚀

z=1xy=1(x+y)0!    (x+y)1z=1-x-y=1-(x+y)\stackrel{!}{\ge0}\implies(x+y)\le1 haben wir hier grenzen für y bestimmt ?

Zunächst haben wir die Summe aus xx und yy nach oben beschränkt:x+y1x+y\le1Wegen x0x\ge0 können wir also zuerst ein xx mit 0x10\le x\le1 frei wählen. Haben wir dieses xx gewählt, lautet die verbliebene Forderung an yy noch:y1xy\le1-xDadurch wird die Wahl von yy nach oben begrenzt. Nach unten ist sie bereits durch die Forderung y0y\ge0 beschränkt.

Perfekt, Jetzt ist es mir klar! Ich danke dir!

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