Aloha :)
Überlege dir zuerst einen Ortsvektor r, der alle Punkte der Fläche F abtastet. Dabei ermittelst du insbesondere die nötigen Integrationsintervalle, die in deiner Rechnung fehlen. Beachte, dass alle Koordinaten ≥0 sein müssen. Damit dies auch für die z-Koordinate gilt, muss gelten:z=1−x−y=1−(x+y)≥0!⟹(x+y)≤1Wir können also zunächst x∈[0;1] frei wählen, sind danach aber bei der Wahl von y auf das Intervall [0;1−x] eingeschränkt :r(x;y)=⎝⎛xy1−x−y⎠⎞;x∈[0;1];y∈[0;1−x]
Das Flächenelement df am Ort r(x;y) lautet nun:df=(∂x∂r×∂y∂r)dxdy=⎝⎛10−1⎠⎞×⎝⎛01−1⎠⎞dxdy=⎝⎛111⎠⎞dxdy
Das gesuchte Flussintegral über das Vektorfeld v ist daher:ϕ=x=0∫1y=0∫1−x⎝⎛0x+yz=1−x−y⎠⎞⎝⎛111⎠⎞dxdy=x=0∫1y=0∫1−x(x+y+1−x−y)dxdyϕ=x=0∫1y=0∫1−xdxdy=x=0∫1[y]y=01−xdx=0∫1(1−x)dx=[x−2x2]01=1−21=21