Können Sie diese Ungleichung nachweisen?

Question

Aufgabe:

Können Sie diese Ungleichung für a > 0 und x >= 1/(2a) nachweisen?

2a²x²/|1-2a²x²| >= 1

Ich habe eine Fallunterscheidung gemacht aber es nicht hinbekommen.

Answer 1

Setze $z=2a^2x^2>0$. Wegen der Bedingung an $x$ ist $z\geq \frac{1}{2}$.

1. Fall: $1-z\geq 0$

Dann ist $\frac{z}{1-z}\geq 1$ äquivalent zu $\frac{1-z}{z}\leq 1$ (Kehrwertbildung)

Das ist aber klar, denn $\frac{1-z}{z}=\frac{1}{z}-1\leq 2-1= 1$, da der Bruch für $z=\frac{1}{2}$ maximal wird.

Den 2. Fall überlasse ich dir.

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Warst schneller. :-D

Answer 2

Offensichtlich hast du eine Ungleichung, die in Wirklichkeit so aussieht:

$\frac p{|1-p|}\geq 1$ mit $p = 2a^2x^2 \geq \frac 12$

Nun gilt wegen $p>0$ für $p \neq 1$

$\frac p{|1-p|}\geq 1 \stackrel{p>0, p\neq 1}{\Leftrightarrow} p^2 \geq (1-p)^2$

Du darfst jetzt gern selbst nachrechnen, dass die letzte Ungleichung äquivalent ist mit $p\geq \frac 12$.

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Vielen Dank auch Ihnen.