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Aufgabe:

Gegeben sei die Menge T : ={(x,y,z)R3x0,y0,z=1xy} T:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x \neq 0, y \neq 0, z=\frac{1}{x y}\right\} . Welche Punkte aus T T haben den kürzesten Abstand zum Ursprung?


Problem/Ansatz:

Bitte wenn möglich, schnell beantworten, danke!

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Da schreibt wohl jemand gerade Klausur?

Bist du noch an einer Komplettlösung interessiert?

Ja, die komplettlösung wäre super.

Dann kann ich es vergleichen

Dann kann ich es vergleichen


Wie sehen deine eigenen gefundenen Punkte aus?

(1|1),(-1|1),(1|-1),(-1|-1)

Kannst du mir deine Lösung schicken?

Zu diesen x- und y-Koordinaten gehört auch noch eine z-Koordinate. Ansonsten ist das auch meine Lösung.

anbei das Bild zur Aufgabe.

Danke! Hast du die vollständige Lösung?

Hast du die vollständige Lösung?

Ja - ich denke schon. Mit Lagrange - oder?

Ja mit Lagrange. Ich weiß leider nicht wie das genau geht.

3 Antworten

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Es sind vier Punkte.

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Der Abstand von (x,y,z) zum Ursprung ist x2+y2+z2 \sqrt{x^2+y^2+z^2} und wird minimal, wenn x2+y2+z2 x^2+y^2+z^2 minimal wird.

z=1xy \frac{1}{xy} lässt sich umformen zu xyz=1.

Du sollst also x2+y2+z2 x^2+y^2+z^2 unter der Nebenbedingung xyz=1 minimieren.

Macht ihr gerade Lagrange?

Avatar von 56 k 🚀

Benutze die AGM-Ungleichung.

Ja, den haben wir gemacht

Das habe ich verstanden. Wie geht man dann weiter vor?

Wie geht man dann weiter vor?

Man wendet die Lagrange-Methode tatsächlich an.

Das ist wohl die Intention der Aufgabensteller, obwohl ich es auch mit AGM machen würde.

@hj: Benutze die AGM-Ungleichung. @abakus: ... obwohl ich es auch mit AGM machen würde.

Ihr mit Euren Abkürzungen! Wo bleibt da die mathematische Exaktheit? Ja klar kenne ich diese Ungleichung, aber bei meiner Google-Recherche, zwecks Klärung was 'AGM' bedeutet, mußte ich noch vorbei an:

- der Astronomische Gesellschaft Magdeburg e.V. (S. 65)

- der Arbeitsgemeinschaft Masern (Abbildung 2)

- und der Anschließende Gesundheitsmaßnahme

schreibt doch bitte Klartext - Danke!

Schreib doch bitte vollständig AGM-Ungleichung und nicht nur AGM !

Schreib doch bitte vollständig AGM-Ungleichung und nicht nur AGM !

ich unterstelle, dass Du mit dieser Aufforderung abakus adressierst.

Ich meine deine Google Recherche

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Ja mit Lagrange. Ich weiß leider nicht wie das genau geht.

Ok - die Frage ist dann: wo genau ist Dein Problem?

Die Hauptbedingung ist das was es zu minimieren oder zu maximieren gilt. Also in diesem Fall ist es der Abstand zum Ursprung (in 3D). Und die Nebenbedingung ist, dass dies nicht für einen vogelwilden Punkt im Raum gelten soll, sondern für einen Punkt, der in der Menge TT liegt. Formal:x2+y2+z2minNB. :  z=1xy,x,y0\sqrt{x^2+y^2+z^2} \to \min \quad \text{NB.:}\space z=\frac{1}{xy}, \quad x,y \ne 0da die Wurzelfunktion streng monoton steigend ist, kann man das etwas handlicher formulieren:x2+y2+z2minNB. :  xyz1=0x^2+y^2+z^2 \to \min \quad \text{NB.:}\space xyz -1 = 0dann sind die Ableitungen schöner ;-)

Jetzt stellst Du die Lagrange-Gleichung auf:L(x,y,z,λ)=x2+y2+z2+λ(xyz1)\mathcal{L}(x,y,z,\lambda) = x^2+y^2+z^2 + \lambda(xyz -1)und leitest nach xx, yy und zz ab. An den kritischen Punkten müssen diese Ableitungen dann zu 0 werdenLx=2x+λyz0Ly=2y+λxz0Lz=2z+λxy0\frac{\partial L}{\partial x} = 2x + \lambda yz\to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2y + \lambda xz\to 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 2z + \lambda xy\to 0 jetzt multipliziere die erste Gleichung mit xx, die zweite mit yy und die dritte mit zz und daraus folgt dann    2x2=2y2=2z2\implies 2x^2 = 2y^2 = 2z^2D.h. die Beträge von xx, yy und zz sind in den kritischen Punkten identisch. Und zusammen mit der Nebenbedingung folgtxyz=1x=y=z    x3=1    x=y=z=1xyz=1 \land |x|=|y|=|z| \implies |x|^3=1 \implies |x|=|y|=|z| = 1D.h. die Koordinaten sind entweder 11 oder 1-1 und die Anzahl der negativen 11'en ist gerade, damit das Produkt xyzxyz wieder positiv wird. Somit ist eine Lösung (1,1,1)(1,\,1,\,1) und zwei der 11'en kannst Du jeweils noch mit einem Minus versehen, so dass Du dann auf die vier Lösungen kommst.

Sei noch erwähnt, dass Du damit nur eine notwendige, aber keine hinreichende Bedingung für ein Minimum gefunden hast. Dass es sich um vier Minima handelt wird aber schon aus dem Funktionsverlauf offensichtlich (s. mein Kommentar unter Deiner Frage).

Gruß Werner

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