Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihe

Question

Aufgabe:

…

Problem/Ansatz:

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Aufgabe 12.2 Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:
(a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k !}{k^{k}}(x-1)^{k} \)
(b) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \cdot 2^{\frac{k}{2}}} x^{k} \)

Answer 1

Betrachte \(  \frac{a_k}{a_{k+1}}= \frac{k!}{k^{k}} \cdot \frac{(k+1)^{k+1}}{(k+1)!}  \)

gibt nach dem Kürzen \(    \frac{(k+1)^k }{k^{k}} = (1+\frac{1}{k})^k\)

Geht für k gegen unendlich gegen e. Also Konvergenzradius = e.

Bei dem zweiten wohl eher mit dem Wurzelkriterium, da komme

ist auf einen Radius von √2.