Ein umständlicher Pythagoras-Beweis

Question

Einem Rechteck EFGH wird - wie dargestellt - ein Quadrat ABCD einbeschrieben:

Beweise mit dieser Skizze den Satz des Pythagoras mittels Größen der dargestellten Teilflächen.

Comments

An den Strecken AB, BC und CD lassen sich Dreiecke anfügen, die kongruent zum Dreieck ADH sind und deren Katheten senkrecht bzw. parallel zu den Rechteckseiten verlaufen ...

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Auf deine Lösungsidee habe ich mit einer Ergänzung des Aufgabentextes reagiert.

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Mir ging es dabei nicht um die Reduzierung des Problems auf die unmittelbare Umgebung des Quadrates. Man gewinnt so nur notwendige Teillängen, die für die Trapezberechnungen nötig sind.

Answer 1

Mit der Idee von Abakus zeigt man ja leicht, dass die

dargestellten Teilflächen von links oben um das Quadrat

im Uhrzeigersinn herum betrachtet folgende Figuren sind:

ADH: rechtwinkliges Dreieck, also Flächenmaß  $A_1 = \frac{ab}{2}$

GDC?: Trapez, also Flächenmaß  $A_2 = \frac{b+2b}{2}\cdot a = \frac{3ab}{2}$

BC??: Trapez, also Flächenmaß  $A_3 = \frac{a+2b}{2}\cdot b = \frac{ab}{2}+b^2$

B?F?: Rechteck, also Flächenmaß  $A_4 = (a+b) \cdot a = a^2 +ab$

BAE?: Trapez, also Flächenmaß  $A_5 = \frac{a+ab}{2}\cdot b = \frac{3ab}{2}$

A1 bis A5 ergeben zusammen $5ab + a^2 + b^2$.

Flächenvergleich:

Rechteck EFGH = Quadrat ABCD + A1 bis A5 gibt mit der Quadratseite x

$(a+2b)(2a+b)=x^2 +5ab + a^2 + b^2$

<=> $2a^2+5ab +2b^2=x^2 +5ab + a^2 + b^2$

<=> $a^2+b^2=x^2$  q.e.d.