Aloha :)
In der Regel ist es bei solchen Aufgaben ein guter Ansatz, die komplexe Zahl \(z\in\mathbb C\) in Real- und Imaginärtiel aufzuteilen \((z=x+iy)\) mit \(x;y\in\mathbb R\) und die Bedinungen damit neu zu formulieren.
$$2\stackrel!=\frac{1}{z}+\overline z=\frac{1}{x+iy}+(x-iy)=\frac{1}{x+iy}+\frac{(x-iy)(x+iy)}{x+iy}=\frac{1+\pink{x^2+y^2}}{x+iy}$$$$2=|z|=\sqrt{x^2+y^2}\implies \pink{x^2+y^2=4}$$Wir setzen die zweite Gleichung in die erste Gleichung ein:$$2=\frac{1+4}{x+iy}=\frac{5}{x+iy}\implies x+iy=\frac52\implies x=\frac52\;\land\;y=0$$
Die erhaltenen Werte aus der ersten Gleichung \(x=\frac52\) und \(y=0\) stehen im Widerspruch zu der Forderung \(x^2+y^2=4\). Es gibt also kein Paar \((x;y)\), das beide Forderungen erfüllt.
Beide Gleichungen haben keine gemeinsame Lösung.
$$\operatorname{Re}(z^2)=-(\operatorname{Im}(z))^2\implies\operatorname{Re}((x+iy)^2)=-(\operatorname{Im}(x+iy))^2\implies$$$$\operatorname{Re}(x^2+2ixy+i^2y^2)=-(y)^2\implies x^2-y^2=-y^2\implies x^2=0\implies x=0$$Die Lösung besteht aus allen rein imaginären Zahlen: \(z=i\,\mathbb R\),
$$z^2-\overline z=i-\operatorname{Im}(z)^2\implies(x+iy)^2-(x-iy)=i-\operatorname{Im(x+iy)}^2\implies$$$$x^2+2ixy\pink{+i^2y^2}-x+iy=i\pink{-y^2}\implies(x^2-x)+i(2xy+y)=i\implies$$$$x(x-1)+i\,y(2x+1)=i$$Der Realteil \(x(x-1)\) muss verschwinden, d.h. \(x=0\,\lor\,x=1\).
Der Imaginärteil \(y(2x+1)\) muss gleich \(1\) sein.
Für \(x=0\) leistet das \(y=1\) und für \(x=1\) leistet das \(y=\frac13\).
Wir erhalten also zwei Lösungen: \(z=i\) und \(z=1+i\,\frac13\).
