Aufgabe:
Berechnen Sie alle komplexen Lösungen der folgenden Gleichungen.
a) z^4 + 8z² − 9 = 0,
b) z^4 = 4
c) z^5 = 1 − i
Problem/Ansatz:
Bei b) und c) komme ich auf Lösungen.
Bei a) weiß ich leider keinen Ansatz bzw. nicht weiter.
b) Die Zahl als solche ist ja nur auf der x - Achse auf der 4. So gesehen müsste bei 4 Lösungen auf jeder der Achsen eine Lösung sein, allerdings erschließt sich mir das nicht ganz, da eine reelle Zahl ja keine Lösung in den komplexen Zahlen haben sollte. Wenn ich allerdings nach der allgemeinen Formel vorgehe, komme ich auf folgendes Ergebnis.
\(z = \sqrt[4]{4}*cos((\frac{0+k*2π}{4})+i*sin((\frac{0+k*π}{4}) \)
mit k = 0,1,2,3
Und wenn ich das ausmultipliziere komme ich nicht auf die gedachten 4 Lösungen mit jeweils Betrag 4.
c)
\(z = \sqrt[7]{2}*cos((\frac{-1π+k*2π}{4})/5)+i*sin((\frac{-1π+k*π}{4}) \)
mit k = 0,1,...,6
