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Nach welcher Zeit hat sich ein Kaffee um ein Drittel seiner anfangstemperatur abgekühlt wenn er pro Minute um 2% kälter wird?


16 Minuten kann es sein?
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Bei einer Anfangstemperatur T und einer Abkühlung um 2 % = 0,02 je Minute gilt nach t Minuten:

T ( t ) = T * ( 1 - 0,02 ) t

<=> T ( t ) / T = 0,98 t

<=> log ( T ( t ) / T ) = log ( 0,98 t ) = t * log ( 0,98 )

<=> t = log ( T ( t ) / T ) / log ( 0,98 )

Laut Aufgabenstellung soll T ( t ) = ( 2 / 3 ) T sein, also:

t = log ( ( 2 / 3 ) T  / T ) / log ( 0,98 )

mit T kürzen:

= log ( 2 / 3 ) / log ( 0,98 ) ≈ 20,07

Also: Nach etwa 20 Minuten erreicht der Kaffee eine Temperatur von 2 / 3 seiner Anfangstemperatur.

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2/3 = 0.98^x
x * ln(0.98) = ln(2/3)
x = ln(2/3) / ln(0.98)

x = 20.07 min

Probe

0.98^{20.07} = 2/3
stimmt

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mfg Georg
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