Konvergenzradius einer Reihe, die z^-1 hat

Question

Aufgabe:

Der Konvergenzradius der Reihe soll bestimmt werden:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (\frac{n}{z})^{ n } }{ n! } }$

Problem/Ansatz:

Wenn ich die Reihe unforme, erhalte ich

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{ n^{ n } }{ n! } z^{-n} }$

Ich weiß nicht, wie ich mit dem $z^{ -1 }$ umgehen soll, da wir bisher nur Reihen hatten, die einfach $z^{n}$ oder (z-3)ⁿ oder sowas hatten.

Answer 1

Sicher, dass es um den Konvergenzradius ging oder doch um den

Konvergenzbereich.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (\frac{n}{z})^{ n } }{ n! }}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}(\frac{1}{z})^{ n }$ und mit der

Substitution $x = \frac{1}{z}$ hast du eine "normale" Potenzreihe $\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!}x^{ n }$

Für den Konvergenzradius betrachte dann

$\frac{ \frac{n^n}{n!} }{ \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}} = \frac{n^n(n+1)!}{n!(n+1)^{n+1}}= \frac{n^n(n+1)}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^{n}}$

$= (\frac{n}{n+1})^{n} = (1-\frac{1}{n+1})^{n}$ Und für n gegen unendlich geht das

gegen e^-1. Also konvergiert die Reihe für |x| < e^-1.

Und  $|x| \lt e^{-1}$ gibt dann ja $\frac{1}{|z|} \lt e^{-1}$  bzw.   $|z| \gt e$.

Also konvergiert $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{ \frac{ (\frac{n}{z})^{ n } }{ n! }}$ für alle z mit   $|z| \gt e$.

Comments

Danke für deine Antwort! Ja, in der Aufgabe stand "Berechnen Sie die Konvergenzradien der folgenden Reihen" und dann eben unter anderem diese Reihe und als Hinweis Quotientenkriterium.

Answer 2

Verwende $z^{-n}=\left(\frac{1}{z}\right)^n$.