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Aufgabe:

Nehmen wir an, dass es k∈ℕ mit k≥2 und Ak=A gibt, dabei sei A∈M(nxn,ℚ) eine invertierbare Matrix.

Bestimmen Sie die möglichen Werte von det(A).

Avatar vor von

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Benutze den Determinantenmultiplikationssatz \(\det(AB)=\det(A)\det(B)\) und wende ihn auf \(A^k=A\cdot \ldots \cdot A\) an.

Avatar vor von 12 k

Kannst du mir noch ein Tipp geben? Nach dem Multiplikationssatz hat man dann

det(A^k)= det(A)•det (A)…•det(A). Was muss man dann machen?

Dann muss ja gelten det(Ak) = det(A)*det(A)*...=det(A), welche Möglichkeiten gibt es denn, dass etwas mit sich selbst multipliziert wieder sich selbst ergibt?

a^2 = a
a^2 - a = 0
a * (a - 1) = 0

a = 0 oder a = 1

Für ungerades \( k \) gibt es noch eine weitere Lösung.

Also betragen die möglichen Werte von der Determinante (A) für k gerade ab 2, 0 oder 1 und für k ungerade ab 2, zusätzlich -1?

Genau so ist es.

Nur 0 ist keine mögliche Determinante, da die Matrix invertierbar sein soll

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