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Sei (a(n)) n∈ℕ eine beschränkte Folge und sei (b(n)) n∈ℕ eine Folge, die gegen unendlich konvergiert.
Zeige, dass lim a(n)/b(n)=0 gilt.
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Da ana_n beschränkt ist, existiert eine Zahl KRK\in\mathbb R mit an<K\vert a_n\vert< K für alle nNn\in \mathbb N. Da bnb_n gegen unendlich konvergiert, ist die Folge insbesondere nicht nach oben beschränkt. Sei nun ϵ>0\epsilon>0 vorgegeben. Es existiert eine Zahl NNN\in\mathbb N mit bn>Kϵb_n>\dfrac K\epsilon für alle n>Nn>N. Es folgt anbn<KϵK=ϵ\left\vert\dfrac{a_n}{b_n}\right\vert< K\cdot\dfrac\epsilon K=\epsilon. Daraus folgt die Behauptung.

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Wir bezeichnen die (obere) Schranke von |a(n)| mit M. Sei also ϵ>0 \epsilon \gt 0 .

Es existiert ein N N so, dass b(n)>ϵMn>N |b(n)| \gt \epsilon M \quad \forall n \gt N.

Damit ist a(n)b(n)<MϵM=ϵn>N \frac{a(n)}{b(n)} \lt \frac{M}{\epsilon M} = \epsilon \quad \forall n \gt N

Avatar von 1,1 k
Mϵ/M=ϵ\dfrac M{\epsilon/M}=\epsilon ?
Sorry, da sich wohl der Fehlerteufel engschlichen. Ich meine natürlich den Kehrbruch, also M/epsilon statt epsilon/M.
Dann stimmt deine letzte Ungleichung nicht mehr. Der Ansatz b(n)>ϵ/M|b(n)|>\epsilon/M ist schon falsch.
Auch da meine ich den Kehrbruch... (war ein Copy and Paste Fehler.)

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