Grenzwert (a(n))/(b(n))=0

Question

Sei (a(n)) n∈ℕ eine beschränkte Folge und sei (b(n)) n∈ℕ eine Folge, die gegen unendlich konvergiert.
Zeige, dass lim a(n)/b(n)=0 gilt.

Answer 1

Da $a_n$ beschränkt ist, existiert eine Zahl $K\in\mathbb R$ mit $\vert a_n\vert< K$ für alle $n\in \mathbb N$. Da $b_n$ gegen unendlich konvergiert, ist die Folge insbesondere nicht nach oben beschränkt. Sei nun $\epsilon>0$ vorgegeben. Es existiert eine Zahl $N\in\mathbb N$ mit $b_n>\dfrac K\epsilon$ für alle $n>N$. Es folgt $\left\vert\dfrac{a_n}{b_n}\right\vert< K\cdot\dfrac\epsilon K=\epsilon$. Daraus folgt die Behauptung.

Answer 2

Wir bezeichnen die (obere) Schranke von |a(n)| mit M. Sei also $\epsilon \gt 0$.

Es existiert ein $N$ so, dass $|b(n)| \gt \epsilon M \quad \forall n \gt N$.

Damit ist $\frac{a(n)}{b(n)} \lt \frac{M}{\epsilon M} = \epsilon \quad \forall n \gt N$

Comments

$\dfrac M{\epsilon/M}=\epsilon$ ?

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Sorry, da sich wohl der Fehlerteufel engschlichen. Ich meine natürlich den Kehrbruch, also M/epsilon statt epsilon/M.

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Dann stimmt deine letzte Ungleichung nicht mehr. Der Ansatz $|b(n)|>\epsilon/M$ ist schon falsch.

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Auch da meine ich den Kehrbruch... (war ein Copy and Paste Fehler.)