Da ana_nan beschränkt ist, existiert eine Zahl K∈RK\in\mathbb RK∈R mit ∣an∣<K\vert a_n\vert< K∣an∣<K für alle n∈Nn\in \mathbb Nn∈N. Da bnb_nbn gegen unendlich konvergiert, ist die Folge insbesondere nicht nach oben beschränkt. Sei nun ϵ>0\epsilon>0ϵ>0 vorgegeben. Es existiert eine Zahl N∈NN\in\mathbb NN∈N mit bn>Kϵb_n>\dfrac K\epsilonbn>ϵK für alle n>Nn>Nn>N. Es folgt ∣anbn∣<K⋅ϵK=ϵ\left\vert\dfrac{a_n}{b_n}\right\vert< K\cdot\dfrac\epsilon K=\epsilon∣∣∣∣∣bnan∣∣∣∣∣<K⋅Kϵ=ϵ. Daraus folgt die Behauptung.
Wir bezeichnen die (obere) Schranke von |a(n)| mit M. Sei also ϵ>0 \epsilon \gt 0 ϵ>0.
Es existiert ein N N N so, dass ∣b(n)∣>ϵM∀n>N |b(n)| \gt \epsilon M \quad \forall n \gt N∣b(n)∣>ϵM∀n>N.
Damit ist a(n)b(n)<MϵM=ϵ∀n>N \frac{a(n)}{b(n)} \lt \frac{M}{\epsilon M} = \epsilon \quad \forall n \gt N b(n)a(n)<ϵMM=ϵ∀n>N
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