Geben sie für |x| < 1 jeweils einen geschlossenen Ausdruck an.

Question

Aufgabe:

Geben sie für |x| < 1 jeweils einen geschlossenen Ausdruck an.

i) $\sum\limits_{j=2}^{\infty}{(j^2 - j) x^{2j}}$

ii) $\sum\limits_{j=2}^{\infty}{(j^2 - j) (-1)^j x^j}$

Problem/Ansatz:

Verstehe nicht womit man anfangen soll. Mir ist nur bekannt, dass für |x| < 1 ist 1 / 1 − x Summe der geometrischen Reihe $\sum\limits_{j=0}^{\infty}{x^j}$ , ich weiss aber nicht, was ich damit anfagen könnte.

Comments

https://www.massmatics.de/merkzettel/#!181:Konvergenzradius_von_Pote…

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@ggT22 Thema verfehlt. Aufgabe lesen hilft.

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vgl:

https://www.mathelounge.de/556044/finden-einen-geschlossenen-ausdruc…

https://www.mathelounge.de/1054344/finden-einen-geschlossenen-funkti…

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Hallo

versuch mal die ersten 2  Ableitungen der geometrischen Reihe ersten der summe, 2. des Ergebnisses!

zur Überprüfung kannst due wolframalpha die dumme bestimmen lassen!

Gruß lul

Answer 1

Aloha :)

zu a) Gesucht ist ein geschlossener Ausdruck für$$f(x)=\sum\limits_{j=2}^\infty(j^2-j)x^{2j}\quad\text{für }|x|<1$$

Darin können wir $x^{2j}=(x^2)^j$ schreiben und $u\coloneqq x^2$ substituieren:$$S(u)=\sum\limits_{j=2}^\infty j(j-1)u^j=u^{\pink{2}}\sum\limits_{j=2}^\infty j(j-1)u^{j\pink{-2}}$$

Die erhaltenen Summanden können wir als zweite Ableitung von $u^j$ schreiben, denn:$$\frac{d^2}{du^2}\left(u^j\right)=\frac{d}{du}\left(j\cdot u^{j-1}\right)=j\cdot(j-1)\cdot u^{j-2}$$

Unter der Voraussetzung, dass die unendliche Summe konvergiert, können wir die Ableitungen vor die Summe ziehen:$$S(u)=u^2\sum\limits_{j=2}^\infty\frac{d^2}{du^2}(u^j)=u^2\,\frac{d^2}{du^2}\sum\limits_{j=2}^\infty u^j=u^2\,\frac{d^2}{du^2}\left(\sum\limits_{j=\pink0}^\infty u^j-u^{\pink0}-u^{\pink1}\right)$$

Da die zweiten Ableitungen von $u^{\pink0}$ und $u^{\pink1}$ verschwinden, können wir diese beiden Terme in der Klammer auch weglassen. Übrig bleibt die geometrische Reihe, die für $|u|<1$ gegen $\frac{1}{1-u}$ konvergiert:$$S(u)=u^2\,\frac{d^2}{du^2}\left(\frac{1}{1-u}\right)=u^2\,\frac{d}{du}\left(\frac{1}{(1-u)^2}\right)=\frac{2u^2}{(1-u)^3}$$

Wir hatten oben $u\coloneqq x^2$ gesetzt. Für $|x|<1$ ist daher auch $|u|<1$ und wir können die Substutiton wieder rückgängig machen:$$f(x)=S(u=x^2)=\frac{2x^4}{(1-x^2)^3}\quad\text{für }|x|<1$$

zu b) Nun suchen wir einen Audruck für$$f(x)=\sum\limits_{j=2}^\infty(j^2-j)(-1)^jx^j=\sum\limits_{j=2}^\infty(j^2-j)\cdot(-x)^j\quad\text{für }|x|<1$$

Das ist genau unsere Summe $S(u)$ aus Teil a) mit $u=-x$.

Das Geschenk nehmen wir natürlich gerne an:$$f(x)=S(u=-x)=\frac{2x^2}{(1+x)^3}\quad\text{für }|x|<1$$

Answer 2

(i) möglicherweise folgendermaßen:$$\frac1{1-x^2}=\sum_{k=0}^\infty x^{2k}$$Ableiten liefert$$\frac{2x}{{(1-x^2)}^2}=\sum_{k=1}^\infty2kx^{2k-1}$$Multipliziere mit $\frac x2$$$\frac{x^2}{{(1-x^2)}^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{2k}$$Erneutes Ableiten liefert$$\frac{2(x^3+x)}{{(1-x^2)}^2}=\sum_{k=1}^\infty2k^2x^{2k-1}$$Multipliziere wieder mit $\frac x2$$$\frac{x^4+x^2}{{(1-x^2)}^3}=\sum_{k=1}^\infty k^2x^{2k}$$Nun fasse zusammen$$\sum_{k=1}^\infty(k^2-k)x^{2k}=\frac{x^4+x^2}{{(1-x^2)}^3}-\frac{x^2}{{(1-x^2)}^2}=\frac{2x^4}{{(1-x^2)}^3}.$$