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Aufgabe:

Geben sie für |x| < 1 jeweils einen geschlossenen Ausdruck an.

i) \( \sum\limits_{j=2}^{\infty}{(j^2 - j) x^{2j}} \)

ii) \( \sum\limits_{j=2}^{\infty}{(j^2 - j) (-1)^j x^j} \)


Problem/Ansatz:

Verstehe nicht womit man anfangen soll. Mir ist nur bekannt, dass für |x| < 1 ist 1 / 1 − x Summe der geometrischen Reihe \( \sum\limits_{j=0}^{\infty}{x^j} \) , ich weiss aber nicht, was ich damit anfagen könnte.

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@ggT22 Thema verfehlt. Aufgabe lesen hilft.

Hallo

versuch mal die ersten 2  Ableitungen der geometrischen Reihe ersten der summe, 2. des Ergebnisses!

zur Überprüfung kannst due wolframalpha die dumme bestimmen lassen!

Gruß lul

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Aloha :)

zu a) Gesucht ist ein geschlossener Ausdruck für$$f(x)=\sum\limits_{j=2}^\infty(j^2-j)x^{2j}\quad\text{für }|x|<1$$

Darin können wir \(x^{2j}=(x^2)^j\) schreiben und \(u\coloneqq x^2\) substituieren:$$S(u)=\sum\limits_{j=2}^\infty j(j-1)u^j=u^{\pink{2}}\sum\limits_{j=2}^\infty j(j-1)u^{j\pink{-2}}$$

Die erhaltenen Summanden können wir als zweite Ableitung von \(u^j\) schreiben, denn:$$\frac{d^2}{du^2}\left(u^j\right)=\frac{d}{du}\left(j\cdot u^{j-1}\right)=j\cdot(j-1)\cdot u^{j-2}$$

Unter der Voraussetzung, dass die unendliche Summe konvergiert, können wir die Ableitungen vor die Summe ziehen:$$S(u)=u^2\sum\limits_{j=2}^\infty\frac{d^2}{du^2}(u^j)=u^2\,\frac{d^2}{du^2}\sum\limits_{j=2}^\infty u^j=u^2\,\frac{d^2}{du^2}\left(\sum\limits_{j=\pink0}^\infty u^j-u^{\pink0}-u^{\pink1}\right)$$

Da die zweiten Ableitungen von \(u^{\pink0}\) und \(u^{\pink1}\) verschwinden, können wir diese beiden Terme in der Klammer auch weglassen. Übrig bleibt die geometrische Reihe, die für \(|u|<1\) gegen \(\frac{1}{1-u}\) konvergiert:$$S(u)=u^2\,\frac{d^2}{du^2}\left(\frac{1}{1-u}\right)=u^2\,\frac{d}{du}\left(\frac{1}{(1-u)^2}\right)=\frac{2u^2}{(1-u)^3}$$

Wir hatten oben \(u\coloneqq x^2\) gesetzt. Für \(|x|<1\) ist daher auch \(|u|<1\) und wir können die Substutiton wieder rückgängig machen:$$f(x)=S(u=x^2)=\frac{2x^4}{(1-x^2)^3}\quad\text{für }|x|<1$$


zu b) Nun suchen wir einen Audruck für$$f(x)=\sum\limits_{j=2}^\infty(j^2-j)(-1)^jx^j=\sum\limits_{j=2}^\infty(j^2-j)\cdot(-x)^j\quad\text{für }|x|<1$$

Das ist genau unsere Summe \(S(u)\) aus Teil a) mit \(u=-x\).

Das Geschenk nehmen wir natürlich gerne an:$$f(x)=S(u=-x)=\frac{2x^2}{(1+x)^3}\quad\text{für }|x|<1$$

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(i) möglicherweise folgendermaßen:$$\frac1{1-x^2}=\sum_{k=0}^\infty x^{2k}$$Ableiten liefert$$\frac{2x}{{(1-x^2)}^2}=\sum_{k=1}^\infty2kx^{2k-1}$$Multipliziere mit \(\frac x2\)$$\frac{x^2}{{(1-x^2)}^2}=\sum_{k=1}^\infty kx^{2k}$$Erneutes Ableiten liefert$$\frac{2(x^3+x)}{{(1-x^2)}^2}=\sum_{k=1}^\infty2k^2x^{2k-1}$$Multipliziere wieder mit \(\frac x2\)$$\frac{x^4+x^2}{{(1-x^2)}^3}=\sum_{k=1}^\infty k^2x^{2k}$$Nun fasse zusammen$$\sum_{k=1}^\infty(k^2-k)x^{2k}=\frac{x^4+x^2}{{(1-x^2)}^3}-\frac{x^2}{{(1-x^2)}^2}=\frac{2x^4}{{(1-x^2)}^3}.$$

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