Gewinnwahrscheinlichkeit 3 mal in Folge

Question

Hi Leute. Ich habe für euch eine einfache Frage im Bereich Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich bin leider kein Mathe-Ass wie ihr, benötige aber eine Lösung, da es mich brennend interessiert und es mich nicht loslässt. Hier die Aufgabe.

Aufagabe: Es gibt eine Tombola die monatlich durchgeführt wird. Bei dieser Tombola gibt es viele kleinere Gewinne. Manche Teilnehmer kriegen ein Los oder sogar mehrere Lose. PRO ZIEHUNG kann jeder Teilnehmer NUR EINMAL GEWINNEN. Ich habe bei dieser Tombola 3 Monate in Folge gewonnen, nun interessiert mich meine Gewinnwahrscheinlichkeit, unzwar pro Monat (also pro Ziehung) und auch wie hoch die Wahrscheinlichkeit war, dass ich 3 mal hintereinander gewinne. Hier die Eckdaten:

1. Monat: 349 Lose im Topf und 35 Ziehungen (Gewinner). Einer dieser 35 Gewinner war ich und ich hatte nur ein Los im Topf.

2. Monat: 409 Lose im Topf und 37 Ziehungen (Gewinner). Einer dieser 37 Gewinner war ich und ich hatte 3 Lose im Topf.

3. Monat: 357 Lose im Topf und 38 Ziehungen (Gewinner). Auch an jenem Monat habe ich gewonnen. Ich hatte erneut 3 Lose im Topf.

Ich schätze mal meine Gewinnwahrscheinlichkeiten lagen bei 349 zu 1 ### 409 zu 3 ### 357 zu 3...also quasi gekürzt: 349 zu 1 ### 136 zu 1 ### 119 zu 1. Die höhere Anzahl der Lose erhöht natürlich meine Gewinnwahrscheinlichkeit in den Töpfen 2 und 3.

Wie berechne ich jedoch die Wahrscheinlichkeit 3 Preise bei 3 Tombolas in Reihe zu gewinnen? Einfach addieren? 349+409+357=1115 zu 7 ? Also ca. 160 zu 1? Irgendwie wirds hierbei schwieriger es zu berchnen, denn die Verteilung der Lose in den Lostöpfen ist ja unterschiedlich. Oder ist das egal?

Answer 1

Die gesuchten Wahrscheinlichkeiten lassen sich mit der "hypergeometrischen Verteilung" berechnen, mit der auch die Wahrscheinlichkeiten für k Richtige beim "Lotto 6 aus 49" berechnet werden kann.

Die hypergeometrische Verteilung h sieht so aus:

$$h(k|N,M,n)=\frac { \begin{pmatrix} M \\ k \end{pmatrix}\begin{pmatrix} N-M \\ n-k \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} N \\ n \end{pmatrix} }$$

Dabei ist

N : Die Anzahl der Elemente der Grundgesamtheit.
Beim "Lotto 6 aus 49" ist N = 49.
In deinem Beispiel ist im ersten Monat N = 349, im zweiten Monat N = 409 und im dritten Monat N = 357

M : Die Anzahl der Elemente, die eine bestimmte Eigenschaft haben.
Beim "Lotto 6 aus 49" ist diese Eigenschaft die, gezogen zu werden, also M = 6.
In deinem Beispiel ist die Eigenschaft die, deine Lose zu sein. Im ersten Monat ist also M = 1 , im zweiten Monat M = 3 und im dritten Monat ebenfalls M = 3.

n : Die Anzahl der Elemente einer Stichprobe.
Beim "Lotto 6 aus 49" ist dies die Anzahl der Kreuze, die man auf dem Tippzettel macht, also n = 6
In deinem Beispiel ist dies die Anzahl Ziehungen, die durchgeführt werden. Im ersten Monat ist also n = 35 , im zweiten Monat n = 37 und im dritten Monat n = 38.

k : Die Anzahl der Treffer.
Beim "Lotto 6 aus 49" liegt k zwischen 0 und 6, je nachdem, nach welcher Anzahl "Richtiger" man fragt.
In deinem Beispiel ist k = 1

Die Hypergeometrische Verteilung gibt nun die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass sich in einer Stichprobe von n der N Elemente der Grundgesamtheit k der M Elemente mit der bestimmten Eigenschaft befinden.

 

In deinem Beispiel gilt:

1. Monat:

$$P\left( Gewinn \right) =\frac { \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 349-1 \\ 35-1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 349 \\ 35 \end{pmatrix} } =\frac { \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 348 \\ 34 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 349 \\ 35 \end{pmatrix} } \approx 0,1002=10,02 Proz.$$

2. Monat:

$$P\left( Gewinn \right) =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 409-3 \\ 37-1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 409 \\ 37 \end{pmatrix} } =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 406 \\ 36 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 409 \\ 37 \end{pmatrix} } \approx 0,2256=22,56 Proz.$$

3. Monat:

$$P\left( Gewinn \right) =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 357-3 \\ 38-1 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 357 \\ 38 \end{pmatrix} } =\frac { \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 354 \\ 37 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 357 \\ 38 \end{pmatrix} } \approx 0,2563=25,63 Proz.$$

 

Die Wahrscheinlichkeit, in allen drei Monaten zu gewinnen, ist (unter der vorliegend anzunehmenden Voraussetzung der statistischen Unabhängigkeit) gleich dem Produkt der drei Einzelwahrscheinlichkeiten, also:

P ("3 mal in Folge gewinnen") ≈ 0,1002 * 0,2256 * 0,2563 ≈ 0,005793692256 = 0,58 %

Comments

Die Spielregel "PRO ZIEHUNG kann jeder Teilnehmer NUR EINMAL GEWINNEN" wurde hier aber nicht (bzw. unzureichend) berücksichtigt.


Rein pragmatisch denkend könnte man erwarten:

Wenn ein Gewinner innerhalb derselben Ziehung nochmals gezogen wird, zählt dies nicht und es wird nochmal gezogen.

Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich so aber nicht mehr berechnen, da man nicht weiß, welche Teilnehmer wieviele Lose haben. Im Extremfall könnte jeder Teilnehmer gewinnen, wenn es genauso viele Teilnehmer wie Gewinne gäbe!