Extremwertaufgabe Analyse eines Würfels

Question

Aufgabe:

Analysieren Sie die Funktion im Würfel

$f : [0, \pi] \times [0, \pi] \times [0, \pi] \longrightarrow \mathbb{R}$$f(x, y, z) = \sin x + \sin y + \sin z - \sin(x + y + z)$

a) In welchen Punkten des Würfels verschwindet der Gradient, d.h. nabla $\nabla f(x, y, z) = 0$

b) Welche Punkte aus a) liegen im Innern des Würfels und welche am Rand?

Problem:

Ich bin bei a) etwas verwirrt wie man diese Aufgabe berechnen soll. Ich habe zwar die Gradienten berechnet also:

$\frac{\partial f}{\partial x} = \cos x - \cos(x + y + z)$
$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos y - \cos(x + y + z$
$\frac{\partial f}{\partial z} = \cos z - \cos(x + y + z)$

Danach habe ich die Gradienten gleich Null gesetzt und umgestellt

 $\cos x - \cos(x + y + z) = 0$

$\cos y - \cos(x + y + z) = 0$

$\cos z - \cos(x + y + z) = 0$

Also...

$\cos x = \cos(x + y + z)$

$\cos y = \cos(x + y + z)$

$\cos z = \cos(x + y + z)$

Danach müssen $x ,y, z$ so gewählt werden, so das die cos-funktionen gleich sind (in den Grenzen $[0, \pi]$)

Also müssen $x ,y, z$ im interval liegen. Das heißt $0 \leq x, y, z \leq \pi$

Und ab da weiß ich nicht wie ich weiter rechnen soll, kann mir jemand dabei helfen?

Answer 1

Ist doch gut soweit.

$0 \le x, y, z \le \pi$

Das ist keine Neuigkeit, steht schon oben als Defbereich von $f$.

Nun betrachte $\cos$ auf $[0,\pi]$: Dort ist $\cos$ umkehrbar, also folgt $x=y=z$. Das sollte Dich ein großes Stück weiterbringen...

Comments

Also ist das Ergebnis bei a)

$(0, 0, 0)$ und $(\pi, \pi, \pi)$ ?

---

Ja, aber dazu muss man die Gleichung $\cos x=\cos (3x)$ lösen. Ich hoffe Du hast gemacht...

---

Ja, das habe ich auch gemacht. Danach habe ich zwei fälle betrachtet für k= 0 und k= 1, die habe ich danach nach x umgestellt. Das ich habe danach eingesetzt

---

Kann anhand Deiner Beschreibung nicht nachvollziehen, wie Du das gemacht hast. Wenn Du wissen willst, ob Dein Weg richtig ist, lade die komplette Rechnung zu diesem Teil hoch.

---

.........................................

---

Setzen wir $x = y = z$, erhalten wir:

$x + y + z = 3x$

=> $\cos x = \cos(3x)$

Da $\cos$ auf $[0, \pi]$ umkehrbar ist (2 Fälle):

$3x = x + 2k\pi \quad \text{oder} \quad 3x = -x + 2k\pi$

Für $k = 0$:

$3x = x \quad \Rightarrow \quad 2x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0$

Für $k = 1$:

$3x = x + 2\pi \quad \Rightarrow \quad 2x = 2\pi \quad \Rightarrow \quad x = \pi$

Lösung $x = 0$

 $x = y = z = 0$

 Dann ist $\cos(0) = 1$ und $\cos(0 + 0 + 0) = 1$, also ist $\nabla f(0, 0, 0) = 0$.

Lösung $x = \pi$:

 $x = y = z = \pi$

 Dann ist $\cos(\pi) = -1$ und $\cos(\pi + \pi + \pi) = \cos(3\pi) = -1$, also ist $\nabla f(\pi, \pi, \pi) = 0$.

---

(0,0,0) und $(\pi, \pi, \pi)$ sind Lösungen und erfüllen auch die Probe. Es gibt aber noch eine Lösung, die bei sorgfältigem Rechnen auftaucht. Und die liegt auch nicht so unschön am Rande des Defbereichs.

---

Du hast übersehen, dass $3x$ nicht unbedingt in $[0,\pi]$ liegt, sondern in $[0,3\pi]$, und da ist $\cos$ nicht mehr umkehrbar.

Zur Lösung schreibe $\cos(3x)=\cos(x+2x)$ mit Additionstheorem um, und verwende $\sin (2x)=2\sin x\cos x$, und $\sin^2x=1-\cos^2 x$. Dann erst setze $=\cos x$ und löse.

---

Ah! Das heißt, ich muss noch $x= \frac{\pi}{2}$ betrachten?

---

So schnell? Aber ja, Ergebnis stimmt (Probe nicht vergessen!).

---

Ok, danke für deine Hilfe^^