Differentialgleichung für Trichterabfluss aufstellen

Question

Aufgabe:

(15 Punkte ohne Gewähr) Durch Rotation des Graphen der Funktion $f(x)=\sqrt{x}$ entsteht ein Trichter der mit Wasser gefüllt wird. Die kreisrunde Wasseroberfläche hat einen Durchmesser von $200 \mathrm{~cm}$ und befindet sich in einer Höhe von $10 \mathrm{~cm}$ über dem Auslass, der sich an der tiefsten Stelle des Trichters befindet. Der kreisrunde Auslass hat einen Durchmesser von $2 \mathrm{~cm}$. Wie lange dauert es vom Zeitpunkt des Öffnens des Auslasses bis zu dem Zeitpunkt an dem der Trichter leer ist? Abflussgeschwindigkeit: $\mathrm{v}(\mathrm{t})=20 \cdot \sqrt{5 y(t)} \mathrm{cm} / \mathrm{s} \quad$ (Gesetz von Torricelli) wobei $\mathrm{y}(\mathrm{t})$ die aktuelle Höhe des Flüssigkeitsspiegels über dem Auslass ist.

a) Stellen Sie die zur obigen Aufgabenstellung zugehörige Differentialgleichung auf.

Poblem/Ansatz:

Hallo, ich verstehe bei folgender Aufgabe nicht (Aufgabe a), wie ich eine Differentialgleichung aufstellen soll. Kann mir jemand die Schritte erklären?

Comments

Hallo
mit f(x)=√x kann man "Durchmesser von $200 \mathrm{~cm}$ und befindet sich in einer Höhe von $10 \mathrm{~cm}$ über dem Auslass" nicht hinkriegen steht da wirklich f(x)=√x oder 200cm=2m?

dazu  muss f(11)=100?

lul

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Es wird um die $y$-Achse rotiert. Wie soll denn auch sonst ein Trichter entstehen?

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Es gilt zwar √100 = 10. Allerdings ergibt sich der Auslass für y = 1, und 10 cm über dem Auslass wäre dann bei y = 11.

Müsste dann wohl 9 cm über dem Auslass lauten oder nicht?

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Hey, ich verstehe was ihr meint, das ist wohl ein Fehler in der Aufgabe. Aber mir geht es darum, zu verstehen, wie man jetzt hier die Differentialgleichung aufstellt. Also mal angenommen, im Text würde es jetzt richtig stehen, also dass die Wasseroberfläche 9cm über dem Auslass sei, wie stelle ich die Differentialgleichung auf?

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Du suchst eine DGL für die Höhe $y(t)$. Überlege also, wie sich die Höhe des Wasserstandes mit der Zeit verändert $y'(t)$. Da kann man sich überlegen, wie sich das Volumen des Wassers verändert, um dann daraus wieder auf die Höhe zu schließen.

Answer 1

Aloha :)

1) Bestimmung des Volumens

Bei Rotation der Funktion $y=\sqrt x$ um die $y$-Achse entsteht bei $y=\tilde y$ ein Kreis mit Radius $r=\tilde y^2$ senkrecht zur $y$-Achse und mit Mittelpunkt auf der $y$-Achse. Die Fläche dieses Kreises ist $F(\tilde y)=\pi r^2=\pi \tilde y^4$.

Der kreisrunde Ausfluss am unteren Ende des Trichters hat den Radius $r_0=1$ und befindet sich daher bei $y_0=\sqrt{r_0}=1$. Die Wasseroberfläche des gefüllten Trichters hat den Radius $r_1=100$ und befindet sich daher bei $y_1=\sqrt{r_1}=10$. Das gesamte Volumen des Trichters erhalten wir daher, indem wir die Flächen $F(\tilde y)$ entlang der $y$-Achse im Intervall $\tilde y\in[1;10]$ integrieren.

Für die weitere Fragestellung brauchen wir jedoch allgemeiner das Volumen des Trichters, der bis zu $y\in[1;10]$ gefüllt ist. Daher wählen wir als obere Grenze für das Integral nicht $y_1=10$, sondern $y_1=y$.$$V(y)=\int\limits_{y_0}^{y_1}F(\tilde y)\,dy=\int\limits_1^y\pi \tilde y^4\,d\tilde y=\left[\frac\pi5\tilde y^5\right]_1^y=\frac\pi5\left(y^5-1\right)\quad;\quad y\in[1;10]$$

Die Änderung des Volumens mit der Zeit $t$ hängt davon ab, wie sich $y$ mit der Zeit ändert, konkret gilt nach der Kettenregel:$$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dy}\cdot\frac{dy}{dt}=\pi y^4(t)\cdot y'(t)$$

2) Aufstellen der Differentialgleichung

Ein Volumen $V$ ist mit einer Flüssigkeit gefüllt, es hat eine Austrittsöffnung der Fläche $A$. Aus dieser Öffnung strömt die Flüssigkeit mit der Geschwindigkeit $v(t)$ heraus. Während eines Zeitintervalls $\Delta t$ ergibt das eine Flüssigkeitssäule der Länge $\Delta s=v(t)\cdot\Delta t$ und ein ausströmendes Volumen von $\Delta V=-A\cdot\Delta s$. Das Minuszeichen zeigt an, dass das ursprüngliche Volumen um diesen Betrag abnimmt. Formal heißt das:$$\frac{\Delta V}{\Delta t}=-\frac{A\cdot\Delta s}{\Delta t}=-A\cdot\frac{\Delta s}{\Delta t}$$

Da hier $v(t)$ nicht konstant ist, sondern von dem Volumen $V$ bzw. von der Zeit $t$ abhängt, bilden wir den Grenzübergang $\Delta t\to0$ und erhalten die Differentialgleichung:$$\frac{dV}{dt}=-A\cdot\frac{ds}{dt}=-A\cdot v(t)$$

Die Austrittsöffnung ist hier kreisrund und hat den Durchmesser $2\,\mathrm{cm}$, also die Austrittsfläche $A=\pi\,\mathrm{cm}^2$. Die Austrittsgeschwindigkeit $v(t)$ ist uns gegeben, sodass schließlich gilt:$$\frac{dV}{dt}=-20\pi\,\sqrt{5y(t)}\;\frac{\mathrm{cm}^3}{\mathrm s}$$

Wir setzen $\frac{dV}{dt}$ aus Teil (1) ein und lassen die EInheiten weg:$$\pi y^4(t)\cdot y'(t)=-20\pi\sqrt{5y(t)}\quad\implies\quad y'(t)=-20\sqrt5\cdot \left[y(t)\right]^{-7/2}$$