Exponentielle Verteilung Wahrscheinlichkeiten

Question

X ~ Exp(1)

Was ist E[X|X>10] ?

Und

Was ist E[X²|X>10] ?

Comments

Meine Idee wäre

E(X | X > 10) = E(X - 10 | X > 0) = 10 + E(X)

Das solltest du versuchen mal nachzuweisen. Stelle einfach mal die Formel für den Erwartungswert mit dem Integral auf und vereinfache es dann.

Es gilt hier ja als Dichte- und Verteilungsfunktion

f(x) = e^(-x) für x ≥ 0 sonst 0

F(x) = 1 - e^(-x) für x ≥ 0 sonst 0

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Hallo Mathelooser. Hier die Definition von Exponentialverteilung aus Wiki sowie meine Berechnung des Erwartungswertes:

https://de.wikipedia.org/wiki/Exponentialverteilung

Eine stetige Zufallsvariable \( X \) genügt der Exponentialverteilung \( \operatorname{Exp}(\lambda) \) mit dem positiven reellen inversen Skalenparameter \( \lambda \in \mathbb{R}_{>0} \), wenn sie die Dichtefunktion
\( f_{\lambda}(x)=\left\{\begin{array}{ll} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} & x \geq 0, \\ 0 & x<0 \end{array}\right. \)
besitzt. Wenn eine Zufallsvariable diese Dichte hat, dann schreibt man auch \( X \sim \mathcal{E}(\lambda) \) oder \( X \sim \operatorname{Exp}(\lambda) \).

Jetzt mache bitte du weiter! Kriegst du das jetzt hin?  

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Hast du die Frage gelesen? Ich denke nicht, dass die Berechnung des Erwartungswertes das Problem ist. In der Frage geht es um den bedingten Erwartungswert.

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Ach, der senkrechte Strich soll „bedingt“ heißen? Ich dachte, das heißt „für“. Man kann eine Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis A unter der Bedingung B ausrechnen. P(A|B). Aber in der Klammer hinter E steht kein Ereignis, sondern eine Zufallsvariable. Es sei denn, man schreibt ausführlich E(X=x), dann hat man auch ein Ereignis in der Klammer. Na, da bin ich mal gespannt, was der Rest der Community sagt.

Okay, verstehe. Wiki -> Bedingter Erwartungswert -> https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingter_Erwartungswert.

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Aber in der Klammer hinter E steht kein Ereignis, sondern eine Zufallsvariable.

Ich wusste gar nicht, dass man Erwartungswerte von Ereignissen berechnet...

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Hallo Apfelmännchen. Da es in dieser Aufgabe um einen bedingten Erwartungswert geht, ist meine Antwort falsch. Antworten lassen sich aber leider nicht löschen. - Dann mache ich sie wenigstens zu einem Kommentar.

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Sowas kann man dann melden und um Löschung bitten, dann kümmert sich ein Moderator darum. Ich finde es aber nicht verkehrt, es als Kommentar stehen zu lassen, so dass man sieht, wie schnell man etwas fehlinterpretieren kann. :)

Answer 1

Da die bedingten Erwartungswerte ja einfach nur zu berechnen sind, kann ich ja mal meine Vergleichsergebnisse posten.

P(X | X > 10) = 11

P(X² | X > 10) = 122

Wen jemand was anderes heraus, bekommt können wir ja mal diskutieren wie das zu berechnen wäre.

Answer 2

Man kann hier natürlich einfach über die Definition des bedingten Erwartungswertes gehen. Der etwas leichtere Fall ist aber das Ausnutzen der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung. Das bedeutet, dass die Zufallsvariable \(Y=10 + X\) mit \(X\sim \mathrm{Exp}(1)\) ebenso \(\mathrm{Exp(1)}\)-verteilt ist. Damit erfüllt \(Y\) die Bedingung \(Y>10\), so dass man die Erwartungswerte direkt über \(Y\) berechnen kann.

Somit ist

\(E[X|X>10] = E[Y] = E[10+X]=10+E[X]\) und

\(E[X^2|X>10]=E[Y^2]=E[(10+X)^2]=E[100]+20E[X]+E[X^2]\).

\(E[X^2]\) lässt sich dabei einfach über die Varianz berechnen, denn \(E[X^2]=\operatorname{Var}(X)+(E[X])^2\). Des Weiteren wurde überall die Linearität des Erwartungswertes benutzt.

Die Ergebnisse 11 und 122 sind korrekt.