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seit kurzem befasse ich mich mit Funktionen bzw. das darstellen solcher.
Den Sinn einer Funktion war mir noch nie ganz klar doch im "fummelte" mal ein wenig damit rum, probierte
Zahlenspielerein aus.

Jetzt habe ich mir mal selbst eine Frage gestellt welche ich mit einer Funktion darstellen wolle.
Meine frage war relativ einfach: "Ein Stück Stahl wird auf 950°C erhitzt und verliert jede Stunde 18% an Temperatur".
Genau das wollte ich nun mal ausprobieren, auf dem Zettel kam dann:

f(x):=950-171x

heraus. Auf meiner Software setzte ich das Ganze dann um und der Graph sieht so aus:

Sieht ganz gut aus und die Temperaturen stimmen auch, nach T4 hat der Stahl nach 4 Stunden nur noch eine Temperatur von 266°C, nach 5 Stunden kann man den Stahl schon mit Handschuhen anfassen.

Meine Frage dazu, war das Vorgehen von mir richtig oder habe ich hier totalen Mißt gebaut?
Freue mich auf jeden Kommentar egal ob Positiv oder Negativ, jede Info kann mir weiter helfen denn ich
möchte einfach nur lernen!

 

Danke

von

2 Antworten

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Beste Antwort

Was du da modelliert hast ist das gleichmäßige Abkühlen eines Stabes. Wenn das das ist, was du erreichen wolltest, dann hast du das richtig gemacht, mathematisch spricht auch nichts dagegen.



Den Rest solltest du also nur als reine Information lesen, dass ist keine Kritik an deinem Vorgehen.

Als Physiker sträubt sich aber etwas in mir: ein Gegenstand wird niemals linear abkühlen. Man muss z.B. überlegen, warum der Stab sich eigentlich abkühlt. Im absoluten Vakuum wird ein Stab seine Temperatur beibehalten, egal wie warm er ist.

Wenn er aber nicht im Vakuum liegt, dann muss die Energie an irgendetwas anderes abgegeben werden, allerdings hat dieses andere Objekt auch eine eigene Temperatur, die Abkühlung wird sich also nicht unendlich fortsetzen, sondern aufhören, wenn der Stab seine Umgebungstemperatur erreicht hat.

Das Newtonsche Abkühlungsgesetz besagt z.B., dass die Abkühlungsgeschwindigkeit in einem Luftstrom konstanter Temperatur proportional zur Temperaturdifferenz zwischen Luft und Gegenstand ist. Löst man die entstehende Differentialgleichung, dann erhält man einen exponentiellen Temperaturabfall, das heißt, anfangs fällt die Temperatur sehr stark und mit der Zeit wird sie immer langsamer.

Ich habe dazu mal einen Versuch gemacht, meine experimentell bestimmte Abkühlungskurve sah folgendermaßen aus:

Die beiden Kurven beginnen bei der selben Anfangstemperatur, sind aber von zwei unterschiedlichen Körpern mit gleichem Volumen und gleichem Material. Der der schneller abkühlt hat aber eine größere Oberfläche, das Ziel war, eben diesen Einfluss nachzuweisen. (Die unteren beiden Kurven sind die gleichen wie die oberen, als das Blatt voll war ist der schreiber wieder nach links gesprungen und hat von dort weitergezeichnet.)

Einfach nur, damit du mal eine etwas realistischere Kurve siehst :-)

 

von 10 k
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Die lineare Abnahme der Temperatur wiederspricht deinem Ansatz:

 

Meine frage war relativ einfach: "Ein stück Stahl wird auf 950°C erhitzt und verliert jede Stunde 18% an Temperatur". 
Genau das wollte ich nun mal ausprobieren, auf dem Zettel kam dann:

f1(x):=950-171x

Die Temperatur am Anfang beträgt 

f1(0) = 950 Grad

Das ist soweit in Ordnung

f1(1) = 950 - 171 = 779 Grad

Das ist auch noch in Ordnung. Aber jetzt müsste der Stab als nächstes wieder 18% seiner jetzigen Temperatur verlieren also 

779 - (18% * 779) = 638,78 Grad

Du kommst allerdings auf

f1(2) = 950 - 2*171 = 608 Grad.

Die Richtige Funktionsgleichung müsste eher lauten

f2(x) = 950 * (1 - 0,18)^x = 950 * (0,82)^x

Allerdings würde so der Stab nach langer Zeit auf Null Grad abkühlen. das Wäre unrealistisch, da der Stab sicher die Umgebungstemperatur annehmen würde. Um das mit einzubeziehen bei einer Umgebungstemperatur von vielleicht 20 Grad könnte man die Funktion wie folgt modellieren:

 

f3(x) = 20 + 930 * (0,82)^x

Ich zeichne mal die 3 Funktionen. Vielleicht siehst Du selber welcher Graph das Verhalten der Temperatur am besten beschreibt:

 

 

von 397 k 🚀

Hi,

super es funktioniert doch warum genau verstehe ich nicht, wie arbeitet: f2(x) = 950 * (1 - 0,18)^x = 950 * (0,82)^x genau?

Stell dir vor du hast 950 Euro und verschenkst 18% davon. Dann bleiben dir noch 82% übrig. das errechnen wir

950 * 0,82 = 779 Euro

Nun hast Du 779 Euro und verschenkst wieder 18% davon, d.h. du behältst erneut 82%. Das errechnen wir mit

779 * 0,82 = (950 * 0,82) * 0,82 = 950 * 0,82^2 = 638,78 Euro

 

Nun hast Du 638,78 Euro und verschenkst wieder 18% davon, d.h. du behältst erneut 82%. Das errechnen wir mit

638,78 * 0,82 = ((950 * 0,82) * 0,82) * 0,82 = 950 * 0,82^3 = 523,80

Du siehst wie sich der Term immer weiter aufbaut wenn wir immer vom Rest 18% verschenken und 82% behalten.

Allgemein können wir daher für das Restgeld nachtem wir x mal 18% verschenkt haben schreiben:

950 * 0,82^x

Ich hoffe du kannst das so nachvollziehen.
Alles bestens, danke dir vielmals für deine Mühe, habe alles verstanden!

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