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Hallo zusammen,

ich habe die folgende Aufgabe:

U1, U2 seien Unterräume eines Vektorraumes V endlicher Dimension, und
es sei dim U1 + dim U2 > dim V . Zeigen Sie, dass U1 (geschnitten) U2 =/= {O} gilt.

Der Beweis folgt wohl aus der Dimensionsformel.... aber wie kann man das sauber aufschreiben?
Gefragt von

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+1 Punkt

Der Dimensionssatz lautet:
dim(U1∩U2) = dim(U1)+dim(U2) - dim(U1+U2)

Mit der Annahme folgt:

dim(U1∩U2) > dim V - dim(U1+U2)

Da U1 und U2 Unterräume von V sind, gilt in jedem Fall U1+U2⊆V, also auch dim(U1+U2)≤dim V

Daraus folgt:

dim(U1∩U2) > dim V - dim V = 0

dim(U1∩U2) > 0

Die Dimension der Schnittmenge ist echt größer als 0, also ist sie nicht leer.

Beantwortet von 10 k
Hab vielen Dank Julian. Ich kann der Beweisführung folgen und verstehe es jetzt auch.

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