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Ich muss ein uneigentliches integral mit den grenzen [1;2] berechnen, komme jedoch nicht auf die korrekte Lösung 3.

Das Integral lautet: f(x) = (1)/die Wurzel aus 3(x-1)^2 dx

könnt ihr mir bitte bei dieser Rechnung helfen?
Gefragt von

ich muß nachfragen

Wurzel aus 3(x-1)2

√ [ 3 * ( x-1)^2 ]

den Ausdruck könnte man sofort umformen zu

( √ 3 ) * ( x -1 )

Ist das so gemeint ?

mfg Georg

gemeint ist:  (1)/3√(x-1)2 dx

 

Muss ich da zuest (x-1) substituieren ? 

2 Antworten

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$$\frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { (x-1) }^{ 2 } }  } =\frac { 1 }{ { (x-1) }^{ \frac { 2 }{ 3 }  } } ={ (x-1) }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }$$Also:$$\int { \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { (x-1) }^{ 2 } }  } dx=\int { { (x-1) }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  } } dx }$$Substitution: u := x - 1, du = dx$$\int { { (x-1) }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  } } dx=\int { { u }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  } } du=3{ u }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }$$Rücksubstitution:$$={ 3(x-1) }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }$$also:$$\int _{ 1 }^{ 2 }{ \frac { 1 }{ \sqrt [ 3 ]{ { (x-1) }^{ 2 } }  } dx= } \left[ { 3(x-1) }^{ \frac { 1 }{ 3 }  } \right] _{ 1 }^{ 2 }=3-0=3$$
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@JotEs,

  es ergibt sich folgende Frage. Die Funktion ist für x = 1
nicht definiert. Dies ist eine Polstelle.
  Ist für den unteren Grenzwert jetzt

  x = 1 oder lim x-> 1(+) beim Integral einzusetzen.

  Eigentlich doch lim x -> 1(+)

  mfg Georg
Hmm, darüber muss ich noch einmal nachdenken - aber erst morgen .-)
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mfg Georg

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Danke für deine ausführliche Antwort!

Was ich noch nicht ganz verstehe, ist, warum ich bei diesem
beispiel die untere grenze, sprich 1, als a benutze, und nicht die obere Grenze, sprich 2!!


Mfg Sophie
Hallo Sophie,

kleiner Fehler meinerseits.

Weder die untere noch die obere Grenze brauchen angenähert
zu werden. Ich kann in das Integral sowohl x = 1 als auch x = 2
einsetzen. Beides ist möglich ( siehe Antwort JotEs ).

x = 1 ist eine Polstelle von f ( x ).
Hier würde eine Division durch 0 statfinden.
Deshalb gibt es für f ( x ) nur den Grenzwert lim x -> 1(+) geht gegen ∞.

mfg Georg

Hallo Sophie,

  ich bleibe doch bei meiner ursprünglichen Antwort.  In der
Fragestellung taucht der falsche Integralbereich auf.

  Def-Bereich von f ( x ) = ℝ \ { 1 }

  Beim Intergralbereich heißt es fälschlicherweise

  [ 1; 2 ] also einschließlich 1. Da diese nicht zum Def-Bereich gehört
muß es
  ] 1 ; 2 ] also ausschließlich 1 heißen.

 Zu deiner Frage : Limes beim unteren oder oberen Grenzwert ?

 Der Limes kann sowohl unten als auch oben auftauchen. Beispiel

  f ( x ) = 1/x^2. Def-Bereich  D = ℝ \ { 0 }

Jetzt soll das Integral für den Bereich  ] 0 ; ∞ [  gebildet werden.
ab ∫ f ( x ) dx
limes a -> 0(+)
limes b -> ∞

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mfg Georg

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