Beweis von zwei de Morgan'sche Regeln

Question

Bei einer Aufgabe muss ich folgende de Morgan'sche Regeln beweisen:

Aufgabenstellung:

Es sei X eine Menge und M ⊂ P(X) ein Mengensystem auf X. Beweisen die die de Morgan'schen Regeln:

a) $$\left( \underset{M \in \bold{ M }}{\cup} M \right)^c = \underset{M \in \bold{ M }}{\cap} M^c$$

b) $$\left( \underset{M \in \bold{ M }}{\cap} M \right)^c = \underset{M \in \bold{ M }}{\cup} M^c$$

Ein Lösungsansatz wäre es wahrscheinlich bis zum gehtnicht mehr aufzulösen. Aber da hapert es bei mir schon am ersten Schritt. Könnt ihr mir einen Tipp für den 1. Schritt geben, damit ich reinkomme?

Answer 1

Uni Düsseldorf?

de Morgan’s laws for sets (proof)

Let \( X \) be a set with subsets \( A_{i} \subset X \) for \( i \in I, \) where \( I \) is an arbitrary index-set. In other words, \( I \) can be finite, countable, or uncountable. We first show that

\( \left(\cup_{i \in I} A_{i}\right)^{\prime}=\cap_{i \in I} A_{i}^{\prime} \)

where \( A^{\prime} \) denotes the complement of \( A \).

Let us define \( S=\left(\cup_{i \in I} A_{i}\right)^{\prime} \) and \( T=\cap_{i \in I} A_{i}^{\prime} . \) To establish the equality \( S=T, \) we shall use a standard argument for proving equalities in set theory. Namely, we show that \( S \subset T \) and \( T \subset S . \) For the first claim, suppose \( x \) is an element in \( S . \) Then \( x \notin \cup_{i \in I} A_{i} \), so \( x \notin A_{i} \) for any \( i \in I . \) Hence \( x \in A_{i}^{\prime} \) for all \( i \in I, \) and \( x \in \cap_{i \in I} A_{i}^{\prime}=T . \) Conversely, suppose \( x \) is an element in \( T=\cap_{i \in I} A_{i}^{\prime} . \) Then \( x \in A_{i}^{\prime} \) for all \( i \in I . \) Hence \( x \notin A_{i} \) for any \( i \in I, \) so \( x \notin \cup_{i \in I} A_{i}, \) and \( x \in S \)

The second claim \( \left(\cap_{i \in I} A_{i}\right)^{\prime}=\cup_{i \in I} A_{i}^{\prime} \) follows by applying the first claim to the sets \( A_{i}^{\prime} \).

Quelle: https://planetmath.org/demorganslawsforsetsproof