Ausführlicher erklärender Beweis der De Morgan'schen Regeln

Question

Aufgabe:

Es sei X eine Menge und M⊂P(X) ein Mengensystem auf X. Beweisen sie die De Morgan'schen Regeln:

a)

$$ \left( \bigcup _ { M \in \mathcal { M } } M \right) ^ { c } = \bigcap _ { M \in \mathcal { M } } M ^ { c } $$

b)

$$ \left( \bigcap _ { M \in \mathcal { M } } M \right) ^ { c } = \bigcup _ { M \in \mathcal { M } } M ^ { c } $$

Problem/Ansatz:

Ich hab hier im Forum auch schon etwas gesucht und auch ein wenig gefunden aber so ganz verstanden hab ich es nicht.

An sich versteh ich das mit den beliebigen Mengen usw. Ich versteh nur nicht so wirklich wie ich den Beweis angehen soll und wie ich da drauf komme? Kann mir einer den Beweis zeigen und mir den etwas im Detail erklären?

Answer 1

Beweis auch hier wieder durch das Überprüfen:

Wenn ein z aus der Menge auf der linken Seite ist, dann ist es

auch in der rechten und umgekehrt:

Bei der ersten Regel  etwa so:

Sei z aus der Menge auf der linken Seite

==> z ist im Komplement der Vereinigung aller Mengen von M.

==>  z ist in keiner der Mengen von M

==>  z ist im Komplement jeder der Mengen von M, also auch
        im Durchschnitt all dieser Komplemente.

umgekehrt entsprechend.