Ja, da habt ihr beide recht mit Eurer Kritik. Ich formuliere es nochmal neu.
Wenn die Funktion f(x)=xex−4x für x→∞ den Grenzwert limx→∞f(x)=∞ besitzen soll, dann muss man nachweisen das gilt:
Zu jedem M>0 existiert ein x0>0 s.d. für alle x∈Df>x0 auch f(x)>M gilt.
Jetzt ist f(x)=x(ex−4)=x(1+x+2x2+∑k=3∞k!xk−4)
D.h. f(x)≥x(1+x+2x2−4)≥x falls x≥2 gilt.
D.h. für alle x>x0=max(2,M) gilt
f(x)≥x≥M
Also gilt limx→∞f(x)=∞