Welchen Radius hat der Inkreis?

Question

Gegeben ist das Trapez ABCD mit rechten Winkeln bei A und bei D.

|\( \overline{AB} \)|=15 und |\( \overline{DC} \)|=10. Welchen Radius hat der Inkreis?

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Soll das ein Kreis sein?

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|\( \overline{AB} \)|=15 und |\( \overline{DC} \)|=10. Welchen Radius hat der Inkreis?

Antwort: Eventuell gar keinen (wenn er nicht existiert).

Da fehlt in der Aufgabenstellung die zusätzliche Voraussetzung, dass das Viereck auch einen Inkreis besitzt.

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anbei ein kleines Desmos-Script welches den Radius berechnet

Die Punkte \(B\) und \(C\) lassen sich mit der Maus horizontal verschieben.

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Sehr schön, Werner!

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Sonst löst du solche Aufgaben doch immer konstruktiv.

Zeichne AB und CD. Der Abstand des Schnittpunktes von AC und BD zu AD ist der gesuchte Radius.

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Sonst löst du solche Aufgaben doch immer konstruktiv.

Ja ... ich war abgelenkt. Ich bin darüber gestolpert, dass der Flächeninhalt \(F\) so eines Trapez' das Produkt aus den beiden parallelen Seiten ist. Also$$F = \overline{AB} \cdot \overline{CD}$$Algebraisch lässt sich das leicht zeigen. Aber einen schönen Weg das geometrisch zu zeigen, habe ich bisher nicht gefunden.

Zeichne AB und CD. Der Abstand des Schnittpunktes von AC und BD zu AD ist der gesuchte Radius.

das ist gut!

Btw. @hj: antworte doch bitte auf meine Frage nach der Parallelität bei der 'Alternative 2'.

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das ist gut!
Das wäre es, wenn ich die Bezeichnungen besser gewählt hätte

meine Frage nach der Parallelität
kann ich leider tatsächlich nicht beantworten (deshalb sprach ich bei 2) von "Beweis", nicht von Beweis), die nach dem Verhältnis der Diagonalen in 3) übrigens auch nicht (und formulierte eine Aufforderung, sich damit zu beschäftigen).

Answer 1

Ich komme auf einen Radius von 6.

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Gibst du noch einen Tipp zum Lösungsweg?

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Ja. Man sollte evtl. wissen oder nachschlagen, wann ein Viereck einen Inkreis besitzt.

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https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Pitot

In einem Tangentenviereck sind die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten gleich groß.

AB + CD = 15 + 10 = 25 = AD + BC

Bezeichnen wir jetzt mal die Länge der Seite AD mit h, dann gilt insbesondere auch wegen des Satzes von Pythagoras

AD + BC = h + √(5^2 + h^2) = 25 --> h = 12

Da jetzt h gleichzeitig der Durchmesser des Inkreises ist, gilt r = 6.

Answer 2

Planfigur:

Steigung der Geraden durch B und M:

\( m_1=\frac{r}{r-15}\)

Steigung der Geraden durch C und M:

\( m_2=\frac{r}{10-r}\)

Die Winkelhalbierende durch B geht durch M ebenso die Winkelhalbierende bei C.

Diese stehen senkrecht aufeinander. Die Gerade durch A und B ist parallel zu der Geraden durch C und D. Somit ist der Winkel \(β\) bei B gleich groß wie der Nebenwinkel von \(γ\) bei C.

Somit gilt :

\( \frac{r}{10-r}=\frac{15-r}{r} \)

Aufgelöst ist \(r=6 \)

Comments

Schöner Beweis, falls du noch einen Satz als Begründung zu  Diese stehen senkrecht aufeinander dazuschreibst.

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Warum so kompliziert?

Nimm die Winkelhalbierenden in A und D, die Länge AD beträgt 12 wegen des Satzes von Pitot und Pythagoras.

Diese haben also die Gleichungen y=x bzw. y=12-x

Schnittpunkt bei x=6=r

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Warum so kompliziert?

Aus  die Länge AD beträgt 12 folgt unmittelbar r=6 ohne weitere Geradengleichungen.

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:-)       .       .