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Gegeben ist das Trapez ABCD mit rechten Winkeln bei A und bei D.

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|\( \overline{AB} \)|=15 und |\( \overline{DC} \)|=10. Welchen Radius hat der Inkreis?

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Soll das ein Kreis sein?

|\( \overline{AB} \)|=15 und |\( \overline{DC} \)|=10. Welchen Radius hat der Inkreis?

Antwort: Eventuell gar keinen (wenn er nicht existiert).

Da fehlt in der Aufgabenstellung die zusätzliche Voraussetzung, dass das Viereck auch einen Inkreis besitzt.

2 Antworten

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Beste Antwort

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Ich komme auf einen Radius von 6.

Avatar vor von 492 k 🚀

Gibst du noch einen Tipp zum Lösungsweg?

Ja. Man sollte evtl. wissen oder nachschlagen, wann ein Viereck einen Inkreis besitzt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Pitot

In einem Tangentenviereck sind die Summen der Längen gegenüberliegender Seiten gleich groß.

AB + CD = 15 + 10 = 25 = AD + BC

Bezeichnen wir jetzt mal die Länge der Seite AD mit h, dann gilt insbesondere auch wegen des Satzes von Pythagoras

AD + BC = h + √(5^2 + h^2) = 25 --> h = 12

Da jetzt h gleichzeitig der Durchmesser des Inkreises ist, gilt r = 6.

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Planfigur:

Unbenannt.JPG

Steigung der Geraden durch B und M:

\( m_1=\frac{r}{r-15}\)

Steigung der Geraden durch C und M:

\( m_2=\frac{r}{10-r}\)

Die Winkelhalbierende durch B geht durch M ebenso die Winkelhalbierende bei C.

Diese stehen senkrecht aufeinander. Die Gerade durch A und B ist parallel zu der Geraden durch C und D. Somit ist der Winkel \(β\) bei B gleich groß wie der Nebenwinkel von \(γ\) bei C.

Somit gilt :

\( \frac{r}{10-r}=\frac{15-r}{r} \)

Aufgelöst ist \(r=6 \)

Unbenannt.JPG

Avatar vor von 42 k

Schöner Beweis, falls du noch einen Satz als Begründung zu  Diese stehen senkrecht aufeinander dazuschreibst.

Warum so kompliziert?

Nimm die Winkelhalbierenden in A und D, die Länge AD beträgt 12 wegen des Satzes von Pitot und Pythagoras.

Diese haben also die Gleichungen y=x bzw. y=12-x

Schnittpunkt bei x=6=r

Warum so kompliziert?

Aus  die Länge AD beträgt 12 folgt unmittelbar r=6 ohne weitere Geradengleichungen.

:-)       .       .

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