Wahrscheinlichkeit Urnenaufgabe Kugeln

Question

Aufgabe:

In einer Urne befinden sich 4 schwarze und 6 weiße Kugeln. Aus der Urne werden nacheinander und ohne Zurückzulegen 3 Kugeln gezogen
a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle 3 gezogenen Kugeln schwarz sind.
b) Weisen Sie nach, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter den 3 gezogenen Kugeln mindestens 2 schwarze Kugeln sind, genau 1/3 beträgt.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Aufgaben gelöst bekommen. Bei b) habe ich die ganzen Fälle (SSW, SWS etc.) aufgeschrieben und mit dem Ergebnis von a) 1/30 kommt 1/3 heraus.

Meine Frage ist, kann ich die Wahrscheinlichkeit für die Fälle mit 2 schwarzen auch über günstige/mögliche ausrechnen und die Anzahl jeweils über eine Formel für Kombination/Variation bekommen?

Answer 1

Meine Frage ist, kann ich die Wahrscheinlichkeit für die Fälle mit 2 schwarzen auch über günstige/mögliche ausrechnen und die Anzahl jeweils über eine Formel für Kombination/Variation bekommen?

Ja. Das würde man mit der hypergeometrischen Verteilung so machen. Wobei man sich dann noch vorstellen müsste, dass die schwarzen und weißen Kugeln alle eine Nummer tragen, sodass du sie unterscheiden kannst.

((4 über 2)·(6 über 1) + (4 über 3)·(6 über 0))/(10 über 3) = (6·6 + 4·1)/120 = 1/3

Damit rechnet man aber eigentlich nur, wenn man ein Paar mehr Kugeln zieht. Bis 3 Kugeln ist das ja mit einem Baumdiagramm noch wesentlich leichter.

Comments

Danke, ja so meinte ich das(wobei Du ja sogar alle Fälle drin hast). Schon klar, dass das komplizierter ist aber es interessierte mich halt, nochmal danke.

Answer 2

Meine Frage ist, kann ich die Wahrscheinlichkeit für die Fälle mit 2 schwarzen auch über günstige/mögliche ausrechnen und die Anzahl jeweils über eine Formel für Kombination/Variation bekommen?

Jein. Die Wahrscheinlichkeiten für WSS, SWS und SSW sind zwar ja alle gleich (warum?), aber die Kombination SSS hat ja eine andere Wahrscheinlichkeit. Es liegt also kein Laplace-Experiment vor, weshalb du hier nicht die Anzahl der günstigen durch die Anzahl aller Möglichkeiten dividieren kannst. Die Anzahl der Pfade, die genau 2 schwarze Kugeln enthalten, kannst du allerdings über den Binomialkoeffizienten bestimmen, was aber in dem einfachen Fall nicht notwendig ist.