Vektorrechnung (Ebenengleichung, Schnittpunkte, Orthogonalität)

Question

Text erkannt:

Vereinfachend wird das Kunstwerk im Folgenden durch eine näherungsweise regelmäßige Pyramide \( A B C D \) mit Eckpunkten mit ganzzahligen Koordinaten modelliert. Der Ursprung des Koordinatensystems befindet sich im Schwerpunkt des Dreiecks ABC (siehe Abbildung 2), welches die Grundfläche der Pyramide bildet. Die Eckpunkte der Pyramide haben in diesem Modell die Koordinaten
\( A(35|0| 0) ; B(-17|30| 0) ; C(-17|-30| 0) ; D(0|0| 49) \)

Dabei entspricht eine Längeneinheit im Modell einem Meter (m).

Abbildung 2
a) (1) Begründen Sie, dass die Grundfläche ABC der Pyramide in der \( x_{1} x_{2} \)-Ebene liegt.
(2) Zeigen Sie, dass die Punkte A, B, und C näherungsweise die Eckpunkte eines gleichseitigen Dreiecks mit der Kantenlänge 60 [m] sind.

Aufgabe:

Text erkannt:

22:12
Donnerstag 8. Mai
\( 9 \% \)
Mathe GK Q1 (2023-24)-Notizbuch
Start
Einfügen
Zeichnen
Ansicht
ஏ
T
Q
\( \square \)
\( +\vee \stackrel{+}{\times} \div \)
\( \square \)
D
§

Name: \( \qquad \)
b) Die Besuchertreppe vom Boden zur ersten Plattform wird im ersten Treppenstück durch einen Abschnitt der Gerade \( g \) modelliert, der in \( P(16|-20|-9) \) beginnt und ins Innere der Pyramide verläuft. Die Gerade \( g \) ist gegeben durch
\( g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 16 \\ -20 \\ -9 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ 2 \end{array}\right), s \in \mathbb{R} \)
(1) Die Gerade \( g \) durchstößt die Grundfläche \( A B C \) der Pyramide im Punkt \( T \).

Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes T und bestimmen Sie die Länge des Treppenstückes, welches sich bei dieser Modellierung außerhalb der Pyramide befindet.
[Hinweis: Ein Nachweis, dass der Punkt \( T \) innerhalb der Dreiecksfläche \( A B C \) liegt, wird nicht erwartet.]
(2) Stellen Sie eine Gleichung der Strecke \( \overline{A C} \) in Parameterform auf.

Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes Q auf der Gerade g, der sich genau vertikal unterhalb der Kante \( \overline{A C} \) befindet.
\( \text { (5 + } 5 \text { Punkte) } \)

Problem/Ansatz:

ich komme bei b) 1+2 nicht weiter, kann mir einer so eine art rezept schreiben zum lösen? morgen mathe abi

also wie man eine ebenenformel aufstellt, wie man prüft, dass g diese ebene durchschneidet undwie man einen punkt findet bei 2, der muss ja orthogonal zu ac-> sein glaub ich

ich bin am verzweifeln

ich bedanke mich schonmal im voraus, alle leute hier sind so lieb und haben immer sehr schnell und super geholfen, ich werde die zeit mit euch nach meiner letzten klausur irgendwie vermissen

Answer 1

Zu b) (1):

Stelle die Ebenengleichung auf, die das Dreieck \(ABC\) enthält. Nimm dazu einen der Punkte als Aufpunkt (Stützvektor) und zwei Verbindungsvektoren zwischen den Punkten als Spannvektoren, zum Beispiel \(\overrightarrow{AB}\).

Bestimme die Parameter zur Berechnung des Ortsvektors des Schnittpunktes durch Gleichsetzen von Gerade und Ebene. Das LGS darfst du mit dem GTR/CAS lösen.

Die Länge von \(P\) nach \(T\) ist der Abschnitt außerhalb der Pyramide.

Alternative (einfacher):

Da sich das Dreieck sowieso in der \(x_1x_2\)-Ebene befindet, muss \(T\) die \(x_3\)-Koordinate 0 haben. Setze dies also in die Geradengleichung ein und bestimme den Parameter. Das geht natürlich wesentlich schneller.

Zu b (2):

Beachte bei der Strecke \(\overline{AC}\), dass der Parameter nur von 0 bis 1 geht, wenn man \(\overrightarrow{AC}\) als Richtungsvektor nimmt. Das muss angegeben werden, da es sonst Punktabzug gibt.

Setze nur die ersten beiden Koordinaten der Geraden gleich und bestimme wie oben eine Lösung des LGS und damit die Parameter zur Bestimmung des Ortsvektors des Punktes, wo sich die beiden Geraden überkreuzen (die z-Koordinate kann daher nicht übereinstimmen und wird daher nicht berücksichtigt). Das reicht aus, da man beide Geraden einfach von oben betrachten kann. Da spielt dann die z-Koordinate, die ja nur die Höhe angibt, keine Rolle.

Setze den Parameter der Geraden \(g\) ein und bestimme damit den Ortsvektor des gesuchten Punktes.

Bei Fragen melde dich gerne.

Viel Erfolg morgen!

Kontrolllösung:

\(T(2,5|-2|0)\) und die Länge beträgt etwa \(24,23\,\mathrm{m}\).

\(Q(11,27|-13,69|-5,85)\)

Comments

Von mir auch viel Erfolg. Ich kann die Ergebnisse bestätigen.

Wobei die Koordinaten von Q natürlich nur Näherungsweise angegeben wurden.