Gesamtwahrscheinlichkeit bei aufeinanderfolgenden Wahrscheinlichkeiten

Question

Aufgabe:

Aufeinanderfolgende Wahrscheinlichkeiten

Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass es zwischen 12 und 13 Uhr regnet bei 20% liegt und die Wahrscheinlichkeit für Regen zwischen 13 und 14 Uhr bei 80% liegt - wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass es zwischen 12 und 14 Uhr irgendwann regnet?

Problem/Ansatz:

Hallo, bei einer Autofahrt heute habe ich den Wetterbericht gehört und dann über Wahrscheinlichkeiten gegrübelt, komme aber zu keinem Lösungsansatz.

Intuitiv würde ich sagen, sie müsste höher als 80% sein und natürlich kleiner als 100%. Aber wie kann man das berechnen?

Comments

Kennst Du Vierfeldertafeln und Baumdiagramme?

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Ja, ist aber schon lange her

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P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

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Dann mach Dich wieder schlau und addiere drei Wahrscheinlichkeiten :)

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Also 84%, hab´s geschnallt.

Danke

Answer 1

Mit dem oben abgebildeten Baumdiagramm komme ich auf 84 %.

Comments

Mit dem Baumdiagramm

wenn es denn stimmt

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Dann korrigier es halt, wenn Du meinst, dass mit der Aufgabe eine andere Absicht verfolgt wird.

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Dann korrigier es halt

Answer 2

Aloha :)

Die W., dass es zwischen 12 und 13 Uhr nicht regnet, ist \(1-0,2=0,8\).

Die W., dass es zwischen 13 und 14 Uhr nicht regnet, ist \(1-0,8=0,2\).

Die W., dass es zwischen 12 und 14 Uhr nicht regnet, ist also \(0,8\cdot0,2=0,16\).

Die W., dass es zwischen 12 und 14 Uhr regnet, ist \(1-0,16=0,84\).

Comments

Liest du meine Kommentare nicht ?

Der Fragesteller schrieb  Intuitiv würde ich sagen, sie müsste höher als 80% sein und natürlich kleiner als 100%. Diese Intuition ist völlig richtig (die Grenzen sollten noch eingeschlossen sein) und mehr kann man dazu auch nicht berechnen.

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Ergänzend zum Kommentar von hj2166: Wenn die Wahrscheinlichkeiten so gegeben wären (R: Regen, T: trocken)

$$\begin{matrix} RR & RT & TR & TT\\0&0.2&0.8&0\end{matrix}$$

Dann wäre die gesuchte Wkt gleich 1

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Echt tröstlich wenn sich selbst die profis nicht einig sind. Was ist denn falsch wenn ich unabhängige Ereignisse V mit P(V)=0.2 und N mit P(N)=o.8 habe und dann die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung als 0.84 rechnen tue?

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Bspw., dass von 12 bis 13 Uhr nicht mehr V sondern schon N ist.  :)

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die profis nicht einig sind

Doch ! Mathilf und ich sind uns einig.

Die Nicht-Profis müssen stochastische Unabhängigkeit wiederholen.
Jeder Meteorologe kann die alte Bauernregel zitieren, wonach die Regenwahrscheinlichkeit am Nachmittag eben nicht unabhängig davon ist, ob es am Vormittag schon geregnet hat oder nicht.

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Von Vormittag ist in dieser Fragestellung nirgends die Rede. Nur in den Kommentaren.

Vgl. dazu auch: Heiner Müller: Wie spät ist es? Die Uhr im Tageslauf. Betzold, Brixlegg/Tirol 2012, ISBN 978-3-8377-4244-2.

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Was ist denn falsch wenn ich unabhängige Ereignisse V mit P(V)=0.2 und N mit P(N)=o.8 habe und dann die Wahrscheinlichkeit von der Vereinigung als 0.84 rechnen tue?

Nichts, wenn die Ereignisse stochastisch unabhängig sind (wie Du vorausgesetzt hast).

Ob das hier der Fall ist oder nicht, hat anscheinend mit wichtigen Bauernregeln zu tun und nicht mit üblichen idealisierten Annahmen. Nach dieser Sicht müßte man nebenbei auch alle Aufgaben mit Würfeln und Münzen mit einem dicken Fragezeichen versehen, da diese bekanntlich in realitas auch nie ideal sind.

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Deswegen ist in den meisten solcher Aufgaben auch immer von idealen bzw. fairen Münzen und Würfeln die Rede.

Da es sich hier um keine Aufgabe handelt, sondern einfach um die Gedanken des FS, kann man hier auch nicht von idealisierten Annahmen ausgehen. Man sollte dem FS also auch mitteilen, dass eine konkrete Wahrscheinlichkeit nicht weiter berechnet werden kann. Und wenn man das so wie hier berechnet, man eben davon ausgeht, dass die Ereignisse unabhängig voneinander sind. Das hat jedoch niemand in seiner Antwort getan.

Das Beispiel von Mathhilf zeigt das ganz wunderbar.

Answer 3

Es kann vielleicht helfen darüber nachzudenken, ob zwei Ereignisse stochastisch abhängig oder unabhängig sind.

Du hast also die beiden Ereignisse:

A: Es regnet im Intervall von 12 bis 13 Uhr.
B: Es regnet im Intervall von 13 bis 14 Uhr.

Dabei ist P(A) = 0.2 und P(B) = 0.8

Jetzt ist es bereits 13 Uhr und wir wissen, ob es im Intervall von 12 bis 13 Uhr geregnet hat.

Du weißt also, dass es zwischen 12 und 13 Uhr geregnet hat, und fragst dich, wie wahrscheinlich es ist, dass es zwischen 13 und 14 Uhr regnet.

Ist also

P(B | A) = 0.8
P(B | A) > 0.8 oder
P(B | A) < 0.8

Das kann mal jeder für sich beantworten und hier mal seinen Verdacht mit Begründung äußern.

Wenn P(B | A) = 0.8 gelten würde, dann wären die Ereignisse übrigens stochastisch unabhängig und damit würde P(A ∪ B) = 0.84 gelten.

Answer 4

In "Elemente der Mathematik 7, NRW, Westermann 2020, 978-3-14-101233-0, Seite 201 heißt es:

Regenwahrscheinlichkeiten

Rätselhafter Regen?

KÖLN – Wenn es im Wetterbericht heißt: "Die Regenwahrscheinlichkeit beträgt 80 %" klingt das dramatisch. Aber was bedeutet diese Angabe? Werde ich zu 80 % nass? Regnet es in 8 von 10 Minuten? Regnet es auf 80 von 100 Quadratkilometern?

„Heiter bis wolkig, örtlich Schauer – das sagt den meisten Menschen zu wenig", meint Meteorologin Merve Günzeitepe, „mit einer Prozentangabe kommen viele Menschen besser zurecht; 100 % Regenwahrscheinlichkeit bedeutet eben, dass es garantiert regnen wird." Die Regenwahrscheinlichkeit ist die Wahrscheinlichkeit des Eintreffens des Regenereignisses an einem bestimmten Ort in dem angegebenen Vorhersagezeitraum. Als "Regenereignis" gilt dabei bereits ein einzelner Regentropfen, der den Ort erreicht. Regenwahrscheinlichkeiten sind Schätzwerte, die auf bisherigen Messdaten aus der Vergangenheit basieren. Ein Beispiel: Hat es in 80 von 100 Tagen mit vergleichbarer Wetterlage am Folgetag geregnet, wird die Regenwahrscheinlichkeit mit 80 % angegeben. "Unter Meteorologen ist der Nutzen dieser Angabe umstritten. Denn er sagt nichts darüber aus, ob man in einen leichten Nieselregen kommt oder besser ein Kanu einpacken sollte", ergänzt Günzeltepe zum Abschluss des Interviews.