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Eine Zahl heißt einfach-gerade, wenn ihre Hälfte ungerade ist. Zeige: Genau diejenigen positiven Zahlen sind Differenzen zweier Quadratzahlen, die nicht einfach-gerade sind.

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Schade, dass sich deine Fragen so häufig ähneln, dass man die Resultate bereits in anderen Antworten finden kann.

Nicht einfach-gerade Zahlen sind nach Definition entweder durch 4 teilbar oder selbst ungerade.

1) Für jede durch 4 teilbare Zahl finden wir die Differenz

\((n+1)^2-(n-1)^2=(n+1+n-1)(n+1-(n-1))=2n\cdot 2=4n\).

2) Für jede ungerade Zahl finden wir die Differenz

\((n+1)^2-n^2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1\).

Damit ist jede Zahl, die nicht einfach-gerade ist, die Differenz zweier Quadratzahlen.

3) Die Differenz zweier gerader/ungerader Quadratzahlen ist durch 4 teilbar:

\((2x)^2-(2y)^2=4x^2-4y^2=4(x^2-y^2)\)

Rechnung für ungerade Zahlen analog.

4) Die Differenz zweier Quadratzahlen ist in allen übrigen Fällen ungerade:

\((2x+1)^2-(2y)^2=4x^2+4x+1-4y^2=4(x^2+x-y^2)-1\)

Damit kann eine einfach-gerade Zahl keine Differenz zweier Quadratzahlen sein, denn eine einfach-gerade Zahl hat die Form \(2(2n+1)=4n+2\) und ist weder ungerade noch durch 4 teilbar.

Avatar vor von 21 k

"Nicht einfach-gerade Zahlen sind nach Definition durch 4 teilbar."

Das gilt nicht nach der von von mir genannten Definition. Die Hälfte von 11 ist nicht ungerade. Also ist 11 nicht einfach-gerade.

Hab ich ergänzt.

Deine Aufgaben sind übrigens mathematisch häufig unpräzise, denn nach der Definition wäre \(\pi\) auch keine einfach-gerade Zahl, aber mit Sicherheit keine Differenz zweier Quadratzahlen.

Mir ist klar, dass du mir gegenüber niemals einen eignen Fehler zugeben würdest. Nach deiner plötzlichen Ergänzung ist dein Beweis nicht mehr ganz so billig, wie du behauptest und auch nicht ganz korrekt.

Ich hab fälschlicherweise angenommen, dass es nur um gerade Zahlen geht, ja. Deswegen hatte ich die ungeraden Zahlen wie 11 nicht auf dem Schirm. Das ändert aber nichts an deinen teilweise unpräzisen Formulierungen. Korrekt hättest du eben schreiben müssen: Eine ganze Zahl heißt...

Außerdem habe ich nichts von "billig" behauptet, sondern lediglich gesagt, dass sich viele deiner Fragen sehr ähneln. Das ist es völlig anderes!

Der Beweis müsste jetzt vollständig sein. Ich habe nicht darauf geachtet, zu zeigen, dass ausschließlich alle nicht einfach-geraden Zahlen die Differenz zweier Quadratzahlen sind.

Du hast also fälschlicherweise etwas angenommen. Schuld daran ist natürlich Roland.

Schuld daran ist natürlich Roland.

Das habe ich mit keinem einzigen Wort erwähnt. Deine Ausführungen sind dennoch häufig unpräzise. Dass das der Grund für meine falsche Annahme war, habe ich allerdings nicht gesagt und auch nicht gemeint.

Ich habe nicht gesagt, dass 'Schuld daran ist natürlich Roland' von Apfelmännchen mit einem einzigen Wort erwähnt erwähnt wurde.

Okay, jetzt wird es kindisch. Schönes Wochenende noch. :)

Auch dir ein schönes Wochenende. Kindisch ist es seit geraumer Zeit.

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