Untersuchen Sie die folgende Verknüpfung

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgende Verknüpfung \( \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} \) auf Assoziativität, Kommutativität und Existenz des neutralen Elements
\( (a, b) \mapsto a^{b} \)

Problem/Ansatz:

Mal eine Frage zum neutralen Element: müßte das aus ℕ oder aus ℕxℕ kommen?

Comments

Es muss aus \(\mathbb{N}\times\mathbb{N}\) kommen.

Nachtrag: Nein, es muss aus \(\mathbb{N}\) kommen.

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Danke, das dachte ich auch. Die Lösung nimmt es aus ℕ …

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Danke, das dachte ich auch.

Ich habe nicht nachgedacht und meinen Kommentar oben ergänzt!

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Die Erklärung findest Du nicht in der Lösung, sondern in Deinen Unterlagen zum Thema Verknüpfung, Kommutativität usw. Dahin sollte der erste Blick bei Unklarheiten gehen.

Answer 1

Aloha :)

Du betrachtest die Verknüpfung$$f\colon\mathbb N\times\mathbb N\to\mathbb N\;;\;f(a;b)=a^b$$

Ein neutrales Element \(e\in\mathbb N\) darf den Wert eines anderen Elementes durch die Verknüpfung nicht ändern. Es muss also zwei Bedingungen erfüllen:$$f(a;e)=a^e\stackrel!=a\quad\text{und}\quad f(e;b)=e^b\stackrel!=b\quad\text{für }a,b\in\mathbb N$$

Die erste Bedingung wird für alle \(a\in\mathbb N\) nur durch \(e=1\) erfüllt, denn \(a^1=a\).

Die zweite Bedingung wird mit \(e=1\) aber nicht für alle \(b\in\mathbb N\) erfüllt, wie du mit \(b=2\) schnell erkennst, denn \(1^2=1\ne2\).

Die Verküpfung hat also kein neutrales Element.

Die Vernküpfung ist auch nicht kommutativ und nicht assoziativ, wie du leicht durch Gegenbeispiele zeigen kannst.

Comments

Ist die Verknüpfung wirklich nicht assoziativ?

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Nein, ist sie nicht, das war leicht. Irgendwie war ich der Meinung, das neutrale Element muß aus der Definitionsmenge kommen, warum auch immer. Nur das war mein Problem.

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Natürlich ist sie das nicht. Außerdem war gar nicht nach einer Lösung gefragt, es war sogar klar, dass der FS eine hat

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@nudger: Du weißt doch, Fragen werden gar nicht gelesen oder sie dienen lediglich der Unterhaltung oder es werden unnötige und unvollständige Rechtschreibkorrekturen durchgeführt oder unsinnige Meldungen gemacht, weil irgendwelche Texte nicht eingegeben wurden oder man des Lesens nicht mächtig ist.

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@Apfelmännchen

Warum immer so gehässig? Manche Kommentare kann man doch einfach weglassen? Man ärgert SICH doch am meisten?

lul

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@lul Also "immer" und "gehässig" sehe ich da nicht. Im Prinzip hast Du aber recht, was den eigenen Ärger betrifft. Aber da die angesprochenen ja auf sachliche Kritik nicht reagieren, hilft es schon (einem selbst) ab und zu mal Dampf abzulassen. Insofern verständlich.

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Viele vergessen, dass eine Antwort nicht nur für den Fragesteller ist, sondern generell für alle, die sich für diese Aufgabe und deren Lösung interessieren.

Und auch wenn dem Fragesteller eine Lösung vorliegt, so liegen den meisten hier mitlesenden wohl keine Lösungen vor.

Ich bedanke mich daher mal an dieser Stelle bei Tschakabumba, obwohl ich keine Lösung gebraucht hätte.

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Ist die Verknüpfung wirklich nicht assoziativ?

Müsste dann nicht gelten:

$$\left(a^b\right)^c = a^{\left(b^c\right)}$$

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Das ist ok, aber vorrangig sollte erst einmal die Frage beantwortet werden. Dann kann man ergänzen/komplettieren etc.

In diesem konkreten Falle sehe ich keine Antwort mit einer zugehörigen, hilfreichen Erklärung. Das dies durchaus nützlich sein könnte, sieht man an der korrigierten Antwort von Az0815.

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Man könnte ja im Forum einen separaten Bereich einrichten, indem sich die, die sich nicht mit dem konkreten Anliegen des FS auseinandersetzen wollen (oder können), ihre Langeweile ausleben können. Dass solche "Antworten" noch gelobt werden (es gibt für solche Aufgaben etliche Lösungen im Netz, wozu noch eine weitere?), erscheint mir befremdlich.

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Für eine zweistellige Verknüpfung (a, b) heißt ein Element e

linksneutral, wenn gilt: (e, a) = a
rechtsneutral, wenn gilt: (a, e) = a
und neutral, wenn gilt: (e, a) = (a, e) = a

Die Definition des neutralen Elements findet man in den Unterlagen oder im Internet.

https://de.wikipedia.org/wiki/Neutrales_Element

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Und zur Bestätigung ein weiterer Kommentar, der die Frage nicht beantwortet und nur aus dem Internet zitiert. Traurig.

Answer 2

Das neutrale Element: muss aus ℕ kommen.

Answer 3

Du darfst die Begriffe nicht verkürzen, es gibt nicht "Definitionsmenge" für sich alleine, sondern nur "Definitionsmenge von <Abbildung>".

Wenn Du in Deinen Unterlagen nachschlägst (die dortige Definition und Begriffe sind für Dich relevant), dann siehst Du, dass die Elemente a,b nicht aus einer Definitionsmenge kommen, sondern aus einer (z.B.) Grundmenge. So steht es da hoffentlich. Das neutrale Element stammt aus der Grundmenge. Eine Definitionsmenge bezieht sich (normalerweise) auf eine Abbildung, das ist hier die Verknüpfung, und die ist offensichtlich nicht die Grundmenge. Also, achte genau auf die Begriffe.

Comments

Danke. Ich habe die Definition natürlich nachgelesen und die ist eigentlich recht klar. Dennoch habe ich einen Hänger: die Abbildung geht doch von ℕXℕ nach ℕ. Warum ist also das neutrale Element nicht aus dem Definitionsbereich?

Witzigerweise ist das Ergebnis dasselbe, wenn ich es daraus nehme:

Sei das neutrale Element e = (e₁,e₂) mit e₁, e₂ aus ℕ. Dann müßte gelten (e,a)=a und (a,e)=a. Wenn man das einsetzt erhält man zwei Bedingungen die i.a. nicht erfüllt sind, somit existiert kein neutrales Element.

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In der Def. sollte klar stehen, woher das neutrale Element genommen wird. Lade die mal hoch (im Original, Foto).

Und zu Deiner Rechnung: Du verwendest die Notation (.,.) in zwei versch. Bedeutungen, einmal für Zahlenpaare und einmal für die Verknüpfung. Davon ist dringend abzuraten. Ich bezeichne die Verknüpfung mal mit \(<.,.>\). Dann willst Du was mit \(<e,a>\) mit \(e=(e_1,e_2)\) rechnen, was aber gar nicht geht, denn dazu müsste die Verknüpfung \(<a,b>:=a^b\) ja auf \((\mathbb{N}\times \mathbb{N})\times\mathbb{N}\) definiert sein, was sie nicht ist.

Man kann auch mit falschen Rechnungen und Überlegungen auf ein richtiges Endergebnis kommen.

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Aber mache ich das nicht genau bei der Assoziativität?

e wird doch per Definition auf e1 hoch e2 abgebildet, was wieder aus ℕ ist, nicht aus ℕxℕ.

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e wird auf gar nichts abgebildet.

Nochmal: 1. Lade die Def. hoch (endlich!!!)

2. Verwende die von mir eingeführte Schreibweise mit \(<.,>\) und schreib die Rechenschritte kleinschrittig auf. Lade auch das hoch. Du verstrickst Dich in Deiner eigenen unsinnigen Schreibweise.

Dann können wir das klären.

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Hallo Karosieben, vielleicht hilft Dir der folgende Gedanke:

Nehmen wir mal an, das neutrale Element käme aus ℕXℕ.

Was wäre denn dieses ‚neutrale Element‘ und was hätte es für Eigenschaften? Man könnte z.B. sagen, es ist ‚neutral‘, wenn es auf sich selber abgebildet wird. Das geht aber natürlich nicht da Urbild- und Bildraum ja verschieden sind: ℕxℕ vs. ℕ. Mit einem anderen Element aus ℕ kann es auch nicht verknüpft werden da es ja nicht in ℕ liegt.

Die Assoziativität ist kein Widerspruch, die sagt ja nur etwas über die Unabhängigkeit von der Reihenfolge der Operation aus und meint nicht, dass jetzt Paare in ℕ liegen.

Die zugrunde liegende Operation wirkt auf Elemente aus ℕ. Du sagtest ja bereits, dass Du die Definition nachgesehen hast und sie eigentlich klar ist.

Ich denke, Dein Hänger besteht darin, dass Du die Operation (die auf Elemente aus ℕ wirkt) verwechselst mit der Abbildung, die von ℕxℕ nach ℕ geht.

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Ich glaube, jetzt hat es endlich Klick gemacht - danke!