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Bestimme ohne digitales Werkzeug die Lösungsmenge für a: \( \sqrt{\sqrt[3]{4a}-\frac{4a-1}{a+2}} \)=\( \sqrt{\frac{1}{a+2}} \)(\( \sqrt[3]{2a^2} \)-\( \sqrt[3]{4a} \)-1).

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L = [1.5·√3 + 2.5 ; ∞[

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Da die Ähnlichkeit mit https://www.mathelounge.de/1106445/bestimme-ohne-digitales-werkzeug-die-positive-reelle-losung?show=1106456#a1106456 nicht zu übersehen ist, verweise ich direkt mal darauf.

Wir setzen also wieder \(z=\sqrt[3]{4a}\) und damit \(a=\frac{z^3}{4}\geq 0\). Multiplikation mit \(2\sqrt{a+2}\) liefert (für die rechte Seite, siehe Link) $$\begin{aligned}\sqrt{4\sqrt[3]{4a}(a+2)-16a-4}&=z^2-2z-2\\\sqrt{4z\left(\frac{z^3}{4}+2\right)-4z^3+4}&=z^2-2z-2\\\sqrt{z^4-4z^3+8z+4}&=z^2-2z-2.\end{aligned}$$Und wie es der "Zufall" von Roland so will, gilt $$(z^2-2z-2)^2=z^4-2z^3-2z^2-2z^3+4z^2+4z-2z^2+4z+4=z^4-4z^3+8z+4,$$ so dass sich die Gleichung zu $$|z^2-2z-2|=z^2-2z-2$$ vereinfacht, was wiederum zur Ungleichung \(z^2-2z-2\geq 0\) wird. Wie im Link bereits berechnet, gilt dann \(a=\frac{5+3\sqrt{3}}{2}\). Der Term \(z^2-2z-2\) beschreibt eine nach oben geöffnete Parabel, so dass insgesamt \(\mathbb{L}=[\frac{5+3\sqrt{3}}{2}; \infty)\) die Lösungsmenge der Ausgangsgleichung ist.

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