Berechnen Sie die unbegrenzte Fläche zwischen x -Achse und dem Graphen der Funktion f: x → x^{2} e^{-0,4 x} ; x ≥ 0 .

Question

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Aufgabe:
Berechnen Sie die unbegrenzte Fläche zwischen \( x \)-Achse und dem Graphen der Funktion \( f: x \rightarrow x^{2} e^{-0,4 x} ; x \geq 0 \).

Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion \( f: x \rightarrow \frac{1}{3 x+1} ; x>0 \).
a) Berechnen Sie das uneigentliche Rotationsintegral für die Funktion \( f \) für \( x>0 \).
b) Diskutieren Sie, ob für die unbegrenzte Fläche zwischen dem Graph der Funktion \( f \) und der \( x \)-Achse ein uneigentliches Integral für \( x>0 \) existiert.

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand helfen? Hatte heute ne Blockade, sodass ich seit Stunden rum sitzen müssen ohne ansatzweise voran zu kommen . Bin für euch und eure Hilfe sehr sehr dankbar!

Comments

Wobei denn helfen? Setze in die Formeln ein, das kann doch kein Problem sein, oder doch? Danach versuch umzuformen/auszurechnen und lass mal sehen wie weit Du damit kommst. Anfangen kann man immer.

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Kannst du denn bei beiden Funktionen die Stammfunktion berechnen, was der erste Schritt ist? Bei der ersten Aufgabe braucht man dazu zweimalige partielle Integration. Die andere Aufgabe geht leichter.

Dann bildet man den Grenzwert des bestimmten Integrals, wenn die obere Grenze gegen unendlich strebt. Bei der ersten Aufgabe existiert er, und bei a) auch, bei b) nicht. Bei der ersten braucht man dazu l‘Hospital oder man kennt den Grenzwert irgendwoher.

Bei a) müßte man eigentlich erst wissen, ob um die x-Achse oder die y-achse rotiert werden soll. Vermutlich um die x- Achse, da dieses Integral auch einen endlichen Wert ergibt (und leichter ist). Zur Berechnung gibt es eine Formel, die nachsehen.

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Bei der ersten braucht man dazu l‘Hospital oder man kennt den Grenzwert irgendwoher.

Schüler dürfen wissen, dass, wenn die e-Funktion 0 wird, sich diese gegenüber jedem Polynom durchsetzt.

l'Hospital braucht und kennt man in Hamburg zumindest nicht.

Answer 1

Ich vermute, das Bilden der Stammfunktion ist hier die eigentliche Herausforderung. Man kann 2x partielle Integration durchführen. Das ist leider extrem fehleranfällig für viele Schüler. Für den Grundkurs bietet sich ein allgemeiner Ansatz für die Stammfunktion mit Ableiten und Koeffizientenvergleich an. Da ich nicht weiß, wie ihr das gemacht habt, nehme ich mal die 2. Methode

Funktion
f(x) = x^2·e^(- 0.4·x)

Ansatz für eine Stammfunktion
F(x) = (a·x^2 + b·x + c)·e^(- 0.4·x)

Ableiten
F'(x) = (- 0.4·a·x^2 + (2·a - 0.4·b)·x + (b - 0.4·c))·e^(- 0.4·x)

Koeffizientenvergleich
- 0.4·a = 1 → a = - 2.5
2·(- 2.5) - 0.4·b = 0 → b = - 12.5
(- 12.5) - 0.4·c = 0 → c = - 31.25

Stammfunktion
F(x) = (- 2.5·x^2 - 12.5·x - 31.25)·e^(- 0.4·x)

Willst du das mal versuchen, nachzuvollziehen? Das eigentliche Integral mit dem Grenzwert zu berechnen, sollte dann nicht so schwer sein.

A = lim x-->∞ F(x) - F(0) = 0 - (-31.25) = 31.25 FE