imaginäre Zahlen, Wurzel aus i ziehen

Question

Aufgabe:

Im Netz berechnet ein Mathematiker die Wurzel aus der imaginären Einheit i

Problem/Ansatz:

Er kommt über verschiedene Rechentricks zu dem Ergebnis:

1/2 √2 + 1/2 √2 i       (also eine komplexe Zahl Z)

Ich habe i = √-1 gesetzt und einfach nochmal die Quadratwurzel gezogen, also 4. Wurzel aus -1

Den Rechenweg des Mathematikers kann ich gern fotografieren, kann ihn auch nachvollziehen, verstehe aber den Sinn nicht

Comments

Wenn Lösungen der Gleichung z² = i gesucht sind, dann gibt es zwei Lösungen in ℂ. Die angegebene Zahl z und natürlich auch -z.

Wenn Du statt dessen die Gleichung z⁴ = -1 löst, erhältst Du vier Lösungen in ℂ. Neben den beiden von oben auch noch deren konjugiert komplexe.

Die beiden Ansätze sind also nicht gleich, es kommt auf die Fragestellung an.

Oder meintest Du \( \sqrt[4]{-1} \) wäre das Ergebnis?

---

Wie ist denn die URL Deiner Quelle? Mit timestamp zur relevanten Stelle, bitte.

Answer 1

Ich habe i = √-1 gesetzt und einfach nochmal die Quadratwurzel gezogen, also 4. Wurzel aus -1

Und jetzt möchtest du wissen, ob \(\sqrt{\textrm{i}}=\sqrt[4\:]{{-1}}\) ist?

Answer 2

Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl i ergibt. Mathematisch sollte man nicht sagen man zieht die Wurzel aus i. Mathematisch ist auch das Ziehen der Wurzel aus -1 verboten. Man löst hier einfach nur Quadratische Gleichungen.

(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi

Nun kann man einen Koeffizientenvergleich machen. Um i zu erhalten muss

2ab = 1
a^2 - b^2 = 0

gelten. Dieses Gleichungssystem hat zwei Lösungen

a = b = √2/2 oder a = b = - √2/2

Anwendungstechnisch findet das Anwendung z.B. in der Wechselstromtechnik, in der Quantenmechanik, in der Strömungsmechanik oder auch in der Aerodynamik. Die Aufzählung ist nicht abschließend. D.h. es gibt noch andere Anwendungsgebiete.

Es ist also weit mehr als nur eine mathematische Spielerei.