imaginäre Zahlen, Wurzel aus i ziehen

Question

Aufgabe:

Im Netz berechnet ein Mathematiker die Wurzel aus der imaginären Einheit i

Problem/Ansatz:

Er kommt über verschiedene Rechentricks zu dem Ergebnis:

1/2 √2 + 1/2 √2 i       (also eine komplexe Zahl Z)

Ich habe i = √-1 gesetzt und einfach nochmal die Quadratwurzel gezogen, also 4. Wurzel aus -1

Den Rechenweg des Mathematikers kann ich gern fotografieren, kann ihn auch nachvollziehen, verstehe aber den Sinn nicht

Comments

Wenn Lösungen der Gleichung z² = i gesucht sind, dann gibt es zwei Lösungen in ℂ. Die angegebene Zahl z und natürlich auch -z.

Wenn Du statt dessen die Gleichung z⁴ = -1 löst, erhältst Du vier Lösungen in ℂ. Neben den beiden von oben auch noch deren konjugiert komplexe.

Die beiden Ansätze sind also nicht gleich, es kommt auf die Fragestellung an.

Oder meintest Du \( \sqrt[4]{-1} \) wäre das Ergebnis?

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Wie ist denn die URL Deiner Quelle? Mit timestamp zur relevanten Stelle, bitte.

Answer 1

Ich habe i = √-1 gesetzt und einfach nochmal die Quadratwurzel gezogen, also 4. Wurzel aus -1

Und jetzt möchtest du wissen, ob \(\sqrt{\textrm{i}}=\sqrt[4\:]{{-1}}\) ist?

Answer 2

Du suchst eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl i ergibt. Mathematisch sollte man nicht sagen man zieht die Wurzel aus i. Mathematisch ist auch das Ziehen der Wurzel aus -1 verboten. Man löst hier einfach nur Quadratische Gleichungen.

(a + bi)^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2 = a^2 - b^2 + 2abi

Nun kann man einen Koeffizientenvergleich machen. Um i zu erhalten muss

2ab = 1
a^2 - b^2 = 0

gelten. Dieses Gleichungssystem hat zwei Lösungen

a = b = √2/2 oder a = b = - √2/2

Anwendungstechnisch findet das Anwendung z.B. in der Wechselstromtechnik, in der Quantenmechanik, in der Strömungsmechanik oder auch in der Aerodynamik. Die Aufzählung ist nicht abschließend. D.h. es gibt noch andere Anwendungsgebiete.

Es ist also weit mehr als nur eine mathematische Spielerei.

Comments

Allen vielen Dank für die Antworten, schwer verständlich der Stoff, obwohl ich schon einfache Wechselstromkreise mit Spule, Kondensator und Widerstand damit berechnet habe. Ich schicke Ihnen mal ein Foto von dem Rechenweg des erwähnten Mathematikers. Hab das Ergebnis in der Gaußschen Zahlenebene skizziert. Was ist der Sinn der Rechnung?

Text erkannt:

Rearteir
\( \begin{aligned} \sqrt{i} & =\sqrt{\frac{2 i}{2}}=\sqrt{\frac{2 i+0}{2}}=\sqrt{\frac{2 i+1-1}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{2 i+1+2^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{(i+1)^{2}}{2}} \\ & =\frac{i+1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot i \\ & =\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}+\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \cdot i \\ & =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \end{aligned} \)

Text erkannt:

Rearteir
\( \begin{aligned} \sqrt{i} & =\sqrt{\frac{2 i}{2}}=\sqrt{\frac{2 i+0}{2}}=\sqrt{\frac{2 i+1-1}{2}} \\ & =\sqrt{\frac{2 i+1+2^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{(i+1)^{2}}{2}} \\ & =\frac{i+1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot i \\ & =\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}+\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} \cdot i \\ & =\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2}+\frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 2 \end{aligned} \)

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Der Sinn? Da hatte wohl jemand Langeweile und wollte zeigen das man diese Wurzel auch mit ‚Fummelei‘ berechnen kann, allerdings fehlt wie gesagt eine Lösung.

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Was ist der Sinn der Rechnung

Letzten Endes geht es im Prinzip um Folgendes :

\( \sqrt{5} \) ist keine Rechenaufgabe, sondern der Name einer Zahl.

\( \frac{2}{3} \) ist keine Rechenaufgabe, sondern der Name einer Zahl, nämlich einer rationalen Zahl, denn alle rationalen Zahlen lassen sich in der Form \( \frac{a}{b} \) schreiben.
Deshalb kann man 0,726363636363... als Rechenaufgabe ansehen, nämlich die Form \( \frac{a}{b} \) zu suchen und die Lösung der Aufgabe wäre dann \( \frac{799}{1100} \).

Analog lassen sich alle komplexen Zahlen in der Form a+b·i schreiben und hier besteht die Rechenaufgabe darin, für \( \sqrt{i} \) diese Form zu suchen.

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Sehe ich genauso wie user26605. Mit der Ergänzung, dass ich nicht glaube, dass die Rechnung von einem Mathematiker stammt.

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\( \sqrt{5} \) ist keine Rechenaufgabe, aber das Wurzelzeichen ist die Aufforderung, nach einer Zahl zu suchen, die mit sich selbst multipliziert 5 ergibt. Wenn man feststellt, dass man dieser Aufforderung in den rationalen Zahlen nicht nachkommen kann, folgt die Verwunderung über die Tatsache, dass \( \sqrt{5} \) auf dem Zahlenstrahl auffindbar ist. Also ist \( \sqrt{5} \) eine nicht- rationale Zahl auf dem Zahlenstrahl.

Gast hj2166: Nenne eine entsprechende Argumentation für \( \sqrt{i} \).

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\(\sqrt5\) ist eine nicht- reelle Zahl?

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Nebenbei:

Erstaunlich gut, wie dieses "Text erkannt" funktioniert!

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\( \sqrt{5} \) ist keine Rechenaufgabe, sondern der Name einer Zahl.

\( \frac{2}{3} \) ist keine Rechenaufgabe, sondern der Name einer Zahl

Nein. Entweder ist es die Darstellung einer Zahl oder ein Term. Aber mit Sicherheit kein Name!

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Das ist doch ein Streit um des Kaisers Bart.

Ist "Pieh", oder je nach Muttersprache auch "pei" der Name einer Zahl, die im Schriftverkehr mit \( \pi \) notiert wird, nämlich derjenigen Zahl, die das Verhältnis von Kreisumfang zu -durchmesser angibt ?

Ist "Fünf" oder je nach Muttersprache auch "cinq" der Name einer Zahl, die die Anzahl der Finger an einer Hand angibt und bei uns als \( 5 \) notiert wird ?

Ist "Wurzel aus fünf" oder je nach Muttersprache auch "squareroot of five" der Name derjenigen Zahl, die die Seitenlänge eines Quadrats der Fläche 5 angibt und mit \( \sqrt{5} \) aufgeschrieben wird ?

Oder haben all diese Zahlen überhaupt noch keine Namen und wir können sie taufen wie neu entdeckte Sterne oder neu entdeckte Schmetterlingsarten ?

In dem Fall möchte ich, dass 2166 nach mir benannt wird.

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Du möchtest, dass 2166 nach dir benannt wird. Geht klar! Für mich ist 2166 schon lange ein Synonym für Gast hj2166. Deinen Klarnamen kenne ich allerdings nicht, weshalb die Benennung der Zahl 2166 nach dir unvollständig bleibt.

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Da gibt es wirklich (jedenfalls unter Mathematikern) nichts zu diskutieren.

fünf und \(\pi\) sind Namen von Zahlen, \(\sqrt{5}\) u.ä. sind keine Namen. Aber auch keine Aufforderungen irgendwas zu tun, sondern Darstellungen (von denen es viele für dieselbe Zahl geben kann).