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Aufgabe:
Es ist mit einem reelen Parameter a die nachfolgende Funktion gegeben:
(bitte nach s(x)= eine große geschweifte Klammer über die 3 Zeilen vorstellen)


x3für 0<= x <= 1
s(x)=x3-(x-1)3für 1<= x <= 2

x3-(x-1)3+a(x-2)3
für 2<= x <= 3


Es wird nun danach gefragt, für Welche Werte von a diese Funktion eine kubische Splinefunktion zu den Knoten 0,1,2,3 darstellt.

Problem/Ansatz:

Lt. Skript ist dazu wohl zu prüfen, ob die Funktion 1. auf jedem Teilintervall [x0,x1]......[xn-1,xn] ein Polynom höchstens m-ten Grades ist und ob dieses 2. auf dem Gesamtintervall [x0,xn] (m-1)-mal stetig differenzierbar ist.

Das scheint alles nicht sehr schwer zu klingen, jedoch habe ich trotzdem nicht wirklich eine Ahnung, was das nun konkret bedeutet. Mathe ist bei mir seit jeher ein Kampf und ich bin einige Jahre aus dem Thema raus....

Danke auf jeden Fall im Voraus für jede Hilfe & noch eine schöne Weichnachtszeit!

von

Es ist offensichtlich, dass s auf allen Teilintervallen durch ein Polynom höchstens dritten Grades beschrieben werden kann und dass s über jedem der Teilintervalle mindestens zweimal differenzierbar ist. Also solltest du mal die Funktionsterme expandieren und die ersten beiden Ableitungen bilden. Die Stützstellen kannst du dann später noch betrachten.

Also solltest du mal die Funktionsterme expandieren und die ersten beiden Ableitungen bilden.

Hallo az0815,

schonmal vielen Dank! Aber was bedeutet "expandieren"? Der Begriff sagt mir mathematisch nichts.

Ich habe nun mal die ersten beiden Ableitungen gebildet.

f(x)f'(x)f''(x)
x3
3x26x
x3-(x-1)3
3x2-3(x-1)26
x3-(x-1)3+a(x-2)3
3x2-3(x-1)2+3a(x-2)2
6ax-12a+6


Wie wäre jetzt das weitere Vorgehen?

Danke & schöne Grüße

Mit "expandieren" meinte ich, die Terme als Polynom zu schreiben.

Danke für die Erklärung. Durch ausmultiplizieren und sortieren nach Potenzen käme ich dann auf die nachfolgenden Polynome:

f(x)Polynom
x3x3
x3-(x-1)3-3x2+3x-1
x3-(x-1)3+a(x-2)3
ax3-6ax2+3x2+12ax-3x-8a+1 


Gruß

Die ersten beiden Ableitungen der Polynome wären dann wie folgt:

f'(x)f''(x)
3x26x
-6x+3-6
3ax2-12ax+6x+12a-36ax-12a+6

Hallo

du musst überprüfen ob an den Stellen 1 und 2 die  Funktionswerte und ersten 2. Ableitungen übereinstimmen. expandieren finde ich nicht nötig.

Gruß lul

@lul: Nötig ist das nicht, ich vermutete, dass es für den Frager etwas einfacher sein könnte. Aber er konnte offenbar die Ableitungen auch direkt bestimmen.

1 Antwort

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Zentral ist die Forderung, dass die inneren Knoten gleiche Steigung und Krümmung haben (ich nummeriere die Splines durch s1, s2 , sa)

\( \left\{ s_2\left(2 \right) = s_a\left(2 \right), s_2'\left(2 \right) = s_a'\left(2 \right), s_2''\left(2 \right) = s_a''\left(2 \right) \right\} \)

nachdem das unabhängig von a erfüllt ist und wenn man keine Randbedingung formuliert wäre

A_3=(3,s_a(3))=(3, a + 19)

ein Kandidat für den 4.Punkt

von 12 k

Hallo wächter,

erst einmal vielen Dank!

Dem kann ich glaube ich halbwegs folgen. Hätte da noch grundsätzliche Fragen:

Verstehe ich folgendes richtig: Nur für die Knoten 2 und 3 gilt der Spline sa?
Beim Knoten 2 fällt beim Einsetzen von "2" die Variable a raus.
Beim Einsetzen von Knoten 3 ergibt sich der potentielle 4. Punkt, welcher die Variable a enthält.

Es wird ja nach den Werten gefragt, die a annehmen darf. Wie komme ich nun im nächsten Schritt auf diese? Oder gilt in diesem Fall nun: a = alle reellen Zahlen?

Danke im Voraus und beste Grüße

zu den grundlagen siehe https://www.geogebra.org/m/s5g89mqy

durch 4 punkte A0..A3 gibt es 3 spline-funktionen. sa beginnt an A2 = (2,s2(2)) =(2,sa(2)) und hat die gleiche steigung  s2‘(2)) =sa‘(2) und krümmung s2‘‘(2)) =sa‘‘(2) wie die ankommende funktion s2 .

da in diesen Voraussetzungen a fehlt, sehe ich erstmal keine Beschränkungen für a.

man könnte am anfang A0 und am ende A3 noch randbedingungen setzen, die braucht man bei einer spline interpolation um auf die notwendige anzahl an gleichungen zu kommen - sind hier aber nicht genannt, oder?

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